# 單管增益與 MOS／BJT 比較

對應：024、025、026。

## 電路與完整方程

NMOS source 接地，gate 由理想小訊號源驅動，drain 接理想偏壓電流源。先保留有限負載 $R_L$；其導納 $G_L=1/R_L$。

drain KCL：

$$
(g_o+G_L)v_o+g_m v_i=0.
$$

因此有號增益及增益大小為

$$
a_v=-\frac{g_m}{g_o+G_L}=-g_m(r_o\parallel R_L),\qquad
A_0=g_m(r_o\parallel R_L).
$$

理想电流源負載 $G_L=0$ 時，模型內精確得到 $A_0=g_mr_o$。

## 從器件電流重新得到教材式

本書平方律與 Early 電壓模型：

$$
I_D=K'\frac WL V_{OV}^{2},\quad
g_m=\left.\frac{\partial I_D}{\partial V_{GS}}\right|_Q
=2K'\frac WL V_{OV}=\frac{2I_D}{V_{OV}},
\quad r_o\simeq\frac{V_A}{I_D}.
$$

代入而不是直接引用結論：

$$
A_0\simeq
\underbrace{\frac{2I_D}{V_{OV}}}_{g_m}
\;\underbrace{\frac{V_A}{I_D}}_{r_o}
=\frac{2V_A}{V_{OV}}=\frac{2V_E L}{V_{OV}}.
$$

等價的乘法式為

$$ A_0\simeq (2I_D/V_{OV})(V_A/I_D). $$

電流消掉不表示任何改變電流的操作都不影響增益：固定 $W/L$ 時，改變 $I_D$ 也會改變 $V_{OV}$。只有在比較時固定 $V_{OV}$、以尺寸調整電流，才有此形式的電流獨立性。

BJT 由 $I_C=I_S e^{V_{BE}/U_T}$ 得

$$
g_m=I_C/U_T,\qquad r_o\simeq V_A/I_C,\qquad
A_0\simeq V_A/U_T,\quad U_T=kT/q.
$$

教材數值：MOS $V_A=10$ V、$V_{OV}=0.2$ V 得 100；BJT $V_A=26$ V、$U_T=26$ mV 得 1000。忽略級間負載時，$100^3=1000^2=10^6$，解釋 026 的三級與兩級比較。

## 必要近似

| 步驟 | 原式 → 簡式 | 條件／理由 | 何時失效 |
|---|---|---|---|
| 負載忽略 | $r_o\parallel R_L\to r_o$ | $R_L\gg r_o$；相對於簡式的差異為 $r_o/(R_L+r_o)$ | 電阻負載或有限電流源阻抗 |
| 輸出電阻 | $g_o=\partial I_D/\partial V_{DS}\to I_D/V_A$ | 線性的 channel-length modulation 近似 | $V_A$ 隨偏壓顯著改變 |
| 尺寸結論 | $2V_A/V_{OV}\to2V_E L/V_{OV}$ | $V_A\propto L$，且 $V_E$ 在比較範圍近似固定 | 短通道效應 |
| 級聯乘積 | $a_1a_2\cdots$ | 後級不負載前級、各級線性 | 有限輸入阻抗、寄生電容 |

025 的「小 $V_{OV}$、大 $L$」是上述模型的方向性結論，不能延伸成無限制降低 $V_{OV}$；A2 會先失效，且頻寬、面積與雜訊限制尚未加入。

## 方法與驗算

不用 SFG：一條 KCL 已直接顯示跨導與輸出電阻的乘積。符號檢查驗證 KCL 解與含 $R_L$ 的增益式相同。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
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| [024](../../extraction/index.html#SANSEN-024) | 51 | 52 | 51 |
| [025](../../extraction/index.html#SANSEN-025) | 52 | 53 | 51, 52 |
| [026](../../extraction/index.html#SANSEN-026) | 52 | 53 | 52 |