# 二極體連接與低阻抗負載放大器

對應：0217–0222。

## 0217–0219：gate 與 drain 短接

NMOS $V_{DS}=V_{GS}=V$，source 與 bulk 接地。導通時 $V>V_T$；對正閾值有 $V\ge V-V_T$，因此在長通道飽和區：

$$ I_D=K'\frac WL(V-V_T)^2. $$

同一埠的小電壓使 $v_{gs}=v_{ds}=v$：

$$ i=(g_m+g_o)v,\quad r_d=\frac1{g_m+g_o}=(1/g_m)\parallel r_o. $$

加入 $C_{GS}+C_{DS}$；$C_{GD}$ 兩端短接：

$$
Z_d(s)=\frac1{g_m+g_o+s(C_{GS}+C_{DS})},\qquad
BW=\frac{g_m+g_o}{2\pi(C_{GS}+C_{DS})}.
$$

先用 $g_o\ll g_m$，再用 $C_{DS}\simeq C_{GS}$，才得到 $BW\simeq f_T/2$，其中 $f_T\simeq g_m/(2\pi C_{GS})$。兩個電容接近相等是教材的額外數值假設。

## 0220：上方 NMOS 二極體負載

M1 source 接地；M2 gate、drain 接 AC 地的 $V_{DD}$，source 接輸出。從輸出看 M2 的導納為 $g_{m2}+g_{mb2}+g_{o2}$：

$$
[g_{o1}+g_{o2}+g_{m2}+g_{mb2}]v_o=-g_{m1}v_i.
$$

$$
a_v=-\frac{g_{m1}}{g_{m2}+g_{mb2}+g_{o1}+g_{o2}},\quad
R_{\rm out}=\frac1{g_{m2}+g_{mb2}+g_{o1}+g_{o2}}.
$$

忽略 body effect 與 $g_o$ 才得到增益大小 $g_{m1}/g_{m2}$。在兩管**同電流、同 $K'$**時：

$$
\frac{g_{m1}}{g_{m2}}
=\sqrt{\frac{(W/L)_1}{(W/L)_2}}
=\frac{V_{OV2}}{V_{OV1}}.
$$

DC 有 $V_O=V_{DD}-V_{GS2}(V_O)$。M2 bulk 接地時，$V_{T2}$ 隨 $V_O$ 變化；DC 與 AC 的 body effect 都不能憑空消失。

## 0221：兩管 source 接地，電流源供應總電流

M1 drain 與二極體連接 M2 的 gate/drain 同接輸出；總電流源為 $2I_B$：

$$
I_1+I_2=2I_B,\quad
(g_{o1}+g_{o2}+g_{m2})v_o=-g_{m1}v_i.
$$

所以小訊號式等於上一節移除 $g_{mb2}$。一般跨導比為

$$
\frac{g_{m1}}{g_{m2}}=
\sqrt{\frac{K'_1(W/L)_1 I_1}{K'_2(W/L)_2 I_2}}.
$$

只有選 $I_1=I_2=I_B$，才化為尺寸比平方根。若同時要求 $V_{O,DC}=V_{I,DC}$ 且閾值相同，則兩管 $V_{OV}$ 相同；再要求等電流，便必須尺寸相同，增益大小為 1。

**教材對照：**「同 DC 輸入輸出、任意尺寸比增益、等電流」不能全部當成獨立且同時成立的條件。

用平方律還可直接解 0221 的 DC 曲線：

$$ V_O=V_T+\sqrt{\frac{2I_B-k_1(V_I-V_T)^2}{k_2}}. $$

只要根號內為正且兩管維持飽和，對它微分就得到
$a_v=-k_1(V_I-V_T)/[k_2(V_O-V_T)]=-g_{m1}/g_{m2}$。
若 $V_O=V_I$，此時增益大小為 $k_1/k_2$；只有另選等電流時才採平方根尺寸比。名字中的「linear」不代表整條 DC 曲線嚴格線性。

## 0222：M2 gate 改接輸入

兩管 source、drain、gate 分別相接，等效跨導相加：

$$
G_m=g_{m1}+g_{m2},\quad
a_v=-G_m(r_{o1}\parallel r_{o2}),\quad
R_{\rm out}=r_{o1}\parallel r_{o2}.
$$

教材的 $g_mR_{\rm out}$ 若要成立，$g_m$ 必須表示合併後的**總跨導**。

## 必要近似

| 原式 → 簡式 | 條件 | 失效情況 |
|---|---|---|
| $1/(g_m+g_o)\to1/g_m$ | $g_mr_o\gg1$ | 低增益器件 |
| $C_{GS}+C_{DS}\to2C_{GS}$ | 兩個電容接近，其他電容可忽略 | 不同 bias／尺寸 |
| 負載導納 $\to g_{m2}$ | $g_{mb2},g_{o1},g_{o2}\ll g_{m2}$ | 上方 NMOS 的 body effect |
| 跨導比 → 尺寸比平方根 | $I_1=I_2$、同 $K'$ | 0221 一般會不等分流 |

不用 SFG：短接已直接化成埠導納，KCL 更簡單。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
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| [0217](../../extraction/index.html#SANSEN-0217) | 58 | 59 | 58 |
| [0218](../../extraction/index.html#SANSEN-0218) | 58 | 59 | 58 |
| [0219](../../extraction/index.html#SANSEN-0219) | 59 | 60 | 58, 59 |
| [0220](../../extraction/index.html#SANSEN-0220) | 59 | 60 | 59 |
| [0221](../../extraction/index.html#SANSEN-0221) | 60 | 61 | 60 |
| [0222](../../extraction/index.html#SANSEN-0222) | 60 | 61 | 60 |