# 高頻源極跟隨器：二階模型、峰化與真正的極零相消

對應：0241–0243。

## 電路與符號

drain 為 AC 地，bulk 跟 source 相連；$R_S$ 串在訊號源和 gate 間。定義

$$
C_g=C_{GS},\quad C_d=C_{GD},\quad C_0=C_L+C_{DS},\quad
g=g_o+G_B,\quad G_S=1/R_S.
$$

$C_g$ 跨 gate–source；$C_d$ 因 drain 接地，成為 gate 對地電容。輸出是 source，不能套用共源級 Miller 增益。

## 完整二節點方程

$$
[G_S+s(C_d+C_g)]v_g-sC_gv_o=G_Sv_i,
$$

$$
-(g_m+sC_g)v_g+[g_m+g+s(C_g+C_0)]v_o=0.
$$

令

$$
C_2=C_0C_d+C_0C_g+C_dC_g,
$$

$$
D(s)=g_m+g+s[C_g+C_0+R_Sg_mC_d+R_Sg(C_d+C_g)]
+s^2R_SC_2.
$$

則

$$
H(s)=\frac{v_o}{v_i}=\frac{g_m+sC_g}{D(s)},\qquad
Z_o(s)=\left.\frac{v_o}{i_{\rm test}}\right|_{v_i=0}
=\frac{1+sR_S(C_d+C_g)}{D(s)}.
$$

這兩個傳輸共用同一分母，但分子不同，所以零點不同。

## 0241：化成教材形式

令 $g=0$，除以 $g_m$：

$$
H=\frac{1+sC_g/g_m}{1+sB+s^2R_SC_2/g_m},\quad
B=R_SC_d+\frac{C_g+C_0}{g_m}.
$$

教材另外保留 $R_SC_g/(g_mr_o)$，卻省去常數 $1/(g_mr_o)$ 與
$R_SC_d/(g_mr_o)$。這是選擇性的一階修正；若需要有限 $r_o$ 的一致模型，應使用上面的完整 $D(s)$。

電壓零點為 $s_{zv}=-g_m/C_g$（左半平面）。若令分母 $a_0+a_1s+a_2s^2$，則

$$
s_{p1,p2}=\frac{-a_1\pm\sqrt{a_1^2-4a_0a_2}}{2a_2}.
$$

複數極點條件是 $a_1^2<4a_0a_2$。**複數極點不必然造成可見的增益峰值**：零點及阻尼還會影響幅度，需要實際計算 $|H(j\omega)|$。

## 0242：複數極點區域的精確邊界

以下令 $g=0$，並在掃描 $g_m$ 時先把電容視為固定。設

$$
B_c=C_g+C_0,\quad
r=\frac{C_0C_g}{C_d(C_0+C_g)},\quad k=1+r,\quad
g_{mr}=\frac{B_c}{R_SC_d},\quad x=\frac{g_m}{g_{mr}}.
$$

將判別式除以 $B_c^2$：

$$
(x+1)^2-4kx<0.
$$

因此真正的邊界為

$$
x_\pm=(\sqrt{k}\pm\sqrt{k-1})^2,\qquad
g_{m,\pm}=g_{mr}x_\pm,\qquad x_+x_-=1.
$$

教材的 $g_{mr}$ 正是兩個邊界的幾何中心。但若把「寬度」定義成上下界比，

$$
W_g=\frac{g_{m,+}}{g_{m,-}}
=(\sqrt{k}+\sqrt{k-1})^4,
$$

就不是投影片列的 $\Delta g_{mr}=C_{DGt}/C_{DG}=r$。
原圖的 $C_{DGt}=C_0C_g/(C_0+C_g)$ 可視為一個電容比參數，但不能不加定義地當作精確區域寬度，再套 $g_{mr}/\sqrt{\Delta g_{mr}}$ 求下界。

## 將零點代入分母：不能只看漸近線交叉

電壓零點 $s=-g_m/C_g$ 代入：

$$
D(-g_m/C_g)=
\frac{C_0g_m}{C_g^2}
[R_Sg_m(C_d+C_g)-C_g].
$$

除去退化情況，精確相消條件是

$$
g_{m,\rm cancel}=\frac{C_g}{R_S(C_d+C_g)}
\simeq\frac1{R_S}\quad(C_d\ll C_g).
$$

這說明 0242 的 $1/R_S$ 是近似而非一般精確相消點。

輸出阻抗零點是

$$
s_{zo}=-\frac1{R_S(C_d+C_g)}
\simeq-\frac1{R_SC_g}.
$$

把它代入同一分母得到**相同的精確相消條件**。在該點：

$$
Z_o(s)=\frac1{g_m+s[C_0+C_gC_d/(C_g+C_d)]},
$$

$$
H(s)=\frac{g_m}{g_m+s[C_0+C_gC_d/(C_g+C_d)]}.
$$

0243 的
$g_{mu}\simeq(C_g+C_{DS})/[R_S(C_g+C_d)]$
是把近似極點與零點位置對齊的估計；它只有在 $C_{DS}\ll C_g$ 等條件下接近上面的精確相消值。保留任意 $C_{DS}$ 時，代入完整分母不會得到零。

高 $g_m$ 時，一個極點趨向 $-1/(R_SC_d)$，因此可得到圖中的
$f_{d,\rm high\,gm}\simeq1/(2\pi R_SC_d)$。輸出阻抗先升後降的區段可呈感性。

## 最小 SFG

$$
v_g=a v_i+bv_o,\qquad v_o=c v_g,
$$

$$
a=\frac{G_S}{G_S+s(C_d+C_g)},\quad
b=\frac{sC_g}{G_S+s(C_d+C_g)},\quad
c=\frac{g_m+sC_g}{g_m+g+s(C_g+C_0)}.
$$

![Follower SFG](assets/follower-sfg.svg)

[查看 SFG 的 DOT 連線文字](assets/follower-sfg.dot)

$g_m$ 與 $sC_g$ 保留為平行正向支路，$C_g$ 返回 gate 的支路也保留。
$H=ac/(1-bc)$ 與完整矩陣完全相同。額外的 source 電流變數已消去，因為它不增加峰化機制的解釋。

## 近似與驗算

| 原式 → 簡式 | 條件 | 失效情況 |
|---|---|---|
| $g\to0$ | 不只 $g\ll g_m$，還須 $R_Sg(C_d+C_g)$ 對 $a_1$ 足夠小 | 大 $R_S$ |
| $C_d+C_g\to C_g$ | $C_d\ll C_g$ | 補償電容加大後 |
| $g_{m,\rm cancel}\to1/R_S$ | 同上 | 0242 的補償正會改變此比值 |
| 極點漸近交點 → 精確相消 | 必須另外驗 $D(s_z)=0$ | 複數極點或電容比不小 |
| 固定電容掃 $g_m$ | 局部模型比較 | 真實偏壓變動也改變電容 |

![峰化與精確相消比較](assets/follower-comparison.svg)

圖中標出完整模型相消值與教材估計值。符號程式驗證兩個零點代入結果及相消後的一階式。

例圖固定 $R_S=10$ kΩ、$C_g=1$ pF、$C_d=0.2$ pF、$C_{DS}=3$ pF、$C_L=0$、$g=0$。完整相消值為 $83.33$ µS，0243 估式為 $333.33$ µS，複數極點區域的幾何中心為 $2$ mS。這是固定電容的模型比較，不是掃描真實器件偏壓。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
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| [0241](../../extraction/index.html#SANSEN-0241) | 70 | 71 | 70 |
| [0242](../../extraction/index.html#SANSEN-0242) | 71 | 72 | 70, 71 |
| [0243](../../extraction/index.html#SANSEN-0243) | 71 | 72 | 71 |