# 主動電感、頻率範圍與差動兩倍因子

對應：0245–0247。

## 0245：從輸出測試電流解阻抗

量測 source 輸出阻抗時，gate 經 $R_S$ 接 AC 地。只保留 $C_{GS}=C$、$g_m$，暫時移除外接 $C_L$：

$$
(G_S+sC)v_g-sCv_o=0,\qquad
i_t=(g_m+sC)(v_o-v_g).
$$

先解 $v_g=sR_SCv_o/(1+sR_SC)$，代入：

$$
Z_o=\frac{1+sR_SC}{g_m+sC}.
$$

低頻與高頻極限為

$$ Z_o(0)=1/g_m,\qquad Z_o(\infty)=R_S. $$

以 $\omega_T=g_m/C$，精確重寫：

$$
Z_o=\frac1{g_m}+
\frac{sL_{\rm eff}}{1+s/\omega_T},\qquad
L_{\rm eff}=\frac{R_S-1/g_m}{\omega_T}.
$$

在 $\omega\ll\omega_T$ 且 $g_mR_S\gg1$ 時，

$$ Z_o\simeq\frac1{g_m}+sL,\qquad L\simeq R_S/\omega_T=R_S/(2\pi f_T). $$

感性項顯著的頻帶約為

$$ \frac{\omega_T}{g_mR_S}\ll\omega\ll\omega_T. $$

因此教材「up to $f_T$」應理解為尺度上限，並非在 $f_T$ 處仍能無誤差使用純電感近似。$R_S$ 是高頻平台，不是低頻串聯電阻；低頻串聯電阻是 $1/g_m$。

若原圖保留外接 $C_L$，總阻抗還要取

$$ Z_{\rm loaded}=[Z_o^{-1}+sC_L]^{-1}. $$

不能一面保留 $C_L$，一面宣稱上面的無負載 $Z_o$ 是總阻抗。

## 0246：用 MOS 電阻代替 $R_S$

二極體接法 PMOS 若為 AC 地參考且 $g_{mp}\gg g_{op}$，其電阻約為 $1/g_{mp}$：

$$ L\simeq\frac1{g_{mp}\omega_{Tn}}. $$

採右側低壓配置時，source follower 的近單位跟隨使 PMOS 的 gate/drain 小訊號近似短接，才可沿用相同電阻。這要求中間跟隨增益接近 1、內部極點高於使用頻帶；不能在任意頻率把複合回授支路當成理想電阻。

依圖上的 DC 節點電壓：

- 電阻回授的基本配置：$V_{DSn}=V_{GSn}$。
- 中間 PMOS 二極體配置：$V_{DSn}=V_{GSn}+V_{SGp}$。
- 右側低壓配置：$V_{DSn}=V_{SGp}$。

以上 PMOS 電壓使用正值 $V_{SGp}$，避免原圖 $V_{GSp}$ 的符號混用。

## 0247：差動半電路

左右匹配，tail 電流源對差模形成虛地；每邊的上管阻抗近似

$$ Z_h\simeq r_h+sL_h,\quad r_h=1/g_{m2},\quad L_h=R_{\rm tune}/\omega_{T2}. $$

兩個 output 之間量到的阻抗是 **$2Z_h$**。所以若圖右畫的是跨兩端的實體等效電感，其值為

$$ L_{\rm diff}=2L_h=\frac{2R_{\rm tune}}{\omega_{T2}}. $$

教材標 $L=R_{\rm tune}/\omega_{T2}$ 可當半電路電感，但不能同時把它當完整兩端差動電感，否則差一倍。

跨輸出的電容 $C$ 在半電路等效為 $2C$，因而

$$
a_{vd}(s)\simeq\frac{g_{m1}(r_h+sL_h)}
{1+2sCr_h+2s^2CL_h}.
$$

低頻 $|a_{vd}(0)|=g_{m1}/g_{m2}$，重現教材；無阻尼共振尺度則為
$\omega_0=1/\sqrt{2L_hC}$。峰化由二階分母及一個零點共同決定。

## 近似與驗算

| 近似 | 條件 | 失效情況 |
|---|---|---|
| $Z_o$ 忽略其他寄生 | $g_o,C_{GD},C_{DS}$、負載效應小 | 真實高頻 |
| $L_{\rm eff}\to R_S/\omega_T$ | $g_mR_S\gg1$ | $g_mR_S\le1$ 不呈此感性 |
| $1/(1+s/\omega_T)\to1$ | $\omega\ll\omega_T$ | 接近截止 |
| PMOS $\to1/g_{mp}$ | $g_{mp}r_{op}\gg1$，頻率遠低於其極點 | 電阻也變成頻率函數 |
| 差動半電路 | 左右匹配、純差模 | 共模、mismatch |

不用額外 SFG：從上一組二節點模型直接取極限即可。$L$ 的係數及差動阻抗因子在符號與數值檢查中分開驗證。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
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| [0245](../../extraction/index.html#SANSEN-0245) | 72 | 73 | 72, 73 |
| [0246](../../extraction/index.html#SANSEN-0246) | 73 | 74 | 73 |
| [0247](../../extraction/index.html#SANSEN-0247) | 73 | 74 | 73 |