# 二管 cascode 的增益、输出電阻與 GBW

對應：0253–0255。

## 連線與精確低頻模型

M1 source 接地、gate 是輸入；M2 source 接 M1 drain（$x$）、gate AC 接地；M2 drain 為輸出。先不含 body effect、寄生電容，只保留輸出 $C_L$ 和負載 $G_L$。

令 $Q_2=g_{m2}+g_{o2}$，$D_x=g_{o1}+Q_2$：

$$
D_xv_x-g_{o2}v_o=-g_{m1}v_i,
$$

$$
-Q_2v_x+(g_{o2}+G_L+sC_L)v_o=0.
$$

由此得到

$$
a_v(s)=\frac{-g_{m1}Q_2}
{g_{o1}g_{o2}+D_xG_L+sD_xC_L}.
$$

先從兩埠關係讀出 Norton 參數：

$$
G_{\rm eff}=\frac{g_{m1}Q_2}{D_x},\qquad
R_{\rm casc}=\frac{D_x}{g_{o1}g_{o2}}
=r_{o1}+r_{o2}+g_{m2}r_{o1}r_{o2}.
$$

所以

$$
a_v=-\frac{G_{\rm eff}(R_{\rm casc}\parallel R_L)}
{1+s(R_{\rm casc}\parallel R_L)C_L}.
$$

## 逐步得到教材增益乘積

理想電流源負載時：

$$
a_v(0)=-g_{m1}r_{o1}(1+g_{m2}r_{o2})
\simeq-(g_{m1}r_{o1})(g_{m2}r_{o2}).
$$

注意精確 $a_v$ 並不等於 $-g_{m1}R_{\rm casc}$，因為 $G_{\rm eff}$ 比 $g_{m1}$ 略小。只有 $Q_2\gg g_{o1}$ 才可令 $G_{\rm eff}\simeq g_{m1}$。

$$
R_{\rm casc}\simeq g_{m2}r_{o1}r_{o2}
$$

要求 $g_{m2}r_{o1}\gg1$ 且 $g_{m2}r_{o2}\gg1$，才能同時忽略兩個獨立的 $r_o$。

## 頻寬與圖形結論

$$
BW=\frac1{2\pi(R_{\rm casc}\parallel R_L)C_L},\qquad
GBW=\frac{G_{\rm eff}}{2\pi C_L}
\simeq\frac{g_{m1}}{2\pi C_L}.
$$

與單管相比，cascode 提高低頻增益，同時降低輸出主極點；在上述近似下兩條高頻漸近線重合。這不是「所有頻率的實際交越與相位相同」，因為中間節點寄生尚未加入。

小負載 $R_L\ll r_{o1},R_{\rm casc}$ 時，兩者增益都約 $g_{m1}R_L$，輸出極點約 $1/(R_LC_L)$。因此並非任何負載下加 cascode 都能提高增益。

## 近似與方法

| 近似 | 條件 | 失效情況 |
|---|---|---|
| $G_{\rm eff}\to g_{m1}$ | $g_{o1}\ll g_{m2}+g_{o2}$ | 上管跨導小 |
| $1+g_{m2}r_{o2}\to g_{m2}r_{o2}$ | $g_{m2}r_{o2}\gg1$ | 短通道低增益 |
| 兩管阻抗只保留乘積 | 兩個 $g_{m2}r_o\gg1$ | 器件尺寸或電流差太大 |
| 單輸出極點 | 中間節點極點高於關注頻帶 | 下一組的寄生情況 |

不用 SFG：兩個節點的 KCL 足夠，且本組的物理機制是 Norton 輸出阻抗的增加。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
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| [0253](../../extraction/index.html#SANSEN-0253) | 76 | 77 | 76, 77 |
| [0254](../../extraction/index.html#SANSEN-0254) | 77 | 78 | 77 |
| [0255](../../extraction/index.html#SANSEN-0255) | 77 | 78 | 77 |