# Regulated cascode 與 gain boosting 的動態模型

對應：0262–0264。

## 連線與負號

M1 source 接地，M2 source 接中間節點 $x$。輔助放大器的正端接 AC 地參考，負端接 $x$，輸出驅動 M2 gate：

$$ v_a=-B(s)v_x. $$

因此 $x$ 上升會使 M2 gate 下降，是此局部迴路的負回授。先忽略 body effect 與中間節點電容，保留 M1、M2 的 $g_o$ 和輸出 $C_L$。

定義 $Q=g_{m2}+g_{o2}$、$D_x=g_{o1}+Q$，KCL：

$$
D_xv_x-g_{o2}v_o-g_{m2}v_a=-g_{m1}v_i,
$$

$$
(g_{o2}+sC_L)v_o-Qv_x+g_{m2}v_a=0.
$$

代入 $v_a=-Bv_x$，得到

$$
a_v(s)=
\frac{-g_{m1}[g_{o2}+g_{m2}(1+B)]}
{g_{o1}g_{o2}+sC_L[g_{o1}+g_{o2}+g_{m2}(1+B)]}.
$$

此式在 $B$ 是任意已指定的傳輸函數時成立，但仍不包含輔助放大器輸出阻抗及額外寄生。

## DC 增益增加的每一步

輸入置零的 drain 測試給

$$
R_{\rm out}=r_{o1}+r_{o2}+g_{m2}r_{o1}r_{o2}(1+B_0).
$$

DC 電壓增益：

$$
a_v(0)=-g_{m1}r_{o1}[1+g_{m2}r_{o2}(1+B_0)].
$$

依序省去兩個 1，才得到教材：

$$
A_0\simeq B_0(g_{m1}r_{o1})(g_{m2}r_{o2}).
$$

0262 若用一個 M3 共源級作輔助放大器，理想偏壓源負載下
$B_0\simeq g_{m3}r_{o3}$，便出現三個 intrinsic gain 的乘積。

中間節點阻抗的敘述須指定輸出終端。輸出被固定在 AC 地時，
$Z_x=1/[D_x+g_{m2}B_0]$，確實降低。若輸出在 DC 完全開路且只有理想電流源，輸入 $x$ 的電流最終仍經 $r_{o1}$ 流走，$Z_x=r_{o1}$。不能省略終端條件而把「中點阻抗降低」當成所有情況的定律。

## 保留輔助放大器的一個極點

取

$$ B(s)=\frac{B_0}{1+s/\omega_b}. $$

乘掉公共分母後：

$$
a_v=
\frac{-g_{m1}[Q(1+s/\omega_b)+g_{m2}B_0]}
{g_{o1}g_{o2}(1+s/\omega_b)
+sC_L[D_x(1+s/\omega_b)+g_{m2}B_0]}.
$$

分母係數：

$$
d_0=g_{o1}g_{o2},\quad
d_1=\frac{g_{o1}g_{o2}}{\omega_b}+C_L(D_x+g_{m2}B_0),\quad
d_2=\frac{C_LD_x}{\omega_b}.
$$

輔助放大器引入的零點為

$$
s_z=-\omega_b\left(1+\frac{g_{m2}B_0}{Q}\right)
\simeq-(1+B_0)\omega_b.
$$

它在左半平面，不能與 Miller RHP 零點混淆。两個極點由 $d_0+d_1s+d_2s^2=0$ 求。

## 0264 的頻寬對齊不是通用等式

將此零點代入完整分母，精確相消要求

$$
\omega_b\left(1+\frac{g_{m2}B_0}{Q}\right)=\frac{g_{o2}}{C_L}.
$$

右側是 $1/(r_{o2}C_L)$，不是未增益提升 cascode 的主極點
$g_{o1}g_{o2}/(D_xC_L)$。

所以原文「輔助 GBW 必須恰好等於原 cascode BW」不能由本頁的單極點 $B(s)$ 模型普遍推出。它屬特定設計圖的簡化說明，完整設計仍須指定所有內部極點、檢查迴路穩定性和 step response。本輪不把這句話標成已證明的設計準則。

## 最小可解釋 SFG

保留 $v_i,v_x,v_a,v_o$ 四個節點；$v_a$ 不能消掉，否則看不到輔助放大器的負回授與自身極點：

$$
v_x=-\frac{g_{m1}}{D_x}v_i+\frac{g_{o2}}{D_x}v_o+\frac{g_{m2}}{D_x}v_a,
$$

$$
v_a=-B(s)v_x,\qquad
v_o=\frac{Q}{g_{o2}+sC_L}v_x-\frac{g_{m2}}{g_{o2}+sC_L}v_a.
$$

![Gain boosting SFG](assets/gainboost-sfg.svg)

[查看 SFG 的 DOT 連線文字](assets/gainboost-sfg.dot)

三條關係的聯立解與 KCL 結果一致，並保留 M2 受 $x$ 與 gate 控制的兩條路徑。沒有額外器件電流節點。

## 必要近似

- $B_0\gg1$ 才可把 $1+B_0$ 換成 $B_0$。
- $g_{m2}r_{o2}(1+B_0)\gg1$ 才可省去 DC 增益最外層的 1。
- 用單管 M3 的 $g_mr_o$ 代表 $B_0$，須忽略其負載並保留有效 bias。
- 「GBW 不變」要求主電路交越附近仍由輸入有效跨導與 $C_L$ 支配，輔助迴路沒有新共振或額外高頻限制。
- 一個極點的 $B(s)$ 是指定模型，不是所有輔助運放的精確描述。

符號檢查驗證 DC 阻抗、SFG、二階式及極零相消条件。


## 來源對照

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| [0262](../../extraction/index.html#SANSEN-0262) | 81 | 82 | 81 |
| [0263](../../extraction/index.html#SANSEN-0263) | 82 | 83 | 82 |
| [0264](../../extraction/index.html#SANSEN-0264) | 82 | 83 | 82 |