# 極零雙重項與 settling：必須保留殘值和初始條件

對應：0265。

## 沒有 doublet 的單位增益閉迴路

若主迴路可近似開迴路積分器 $A(s)=\omega_u/s$，單位負回授：

$$
H(s)=\frac{A}{1+A}=\frac{\omega_u}{s+\omega_u}.
$$

單位階躍的輸出與誤差：

$$
y(t)=1-e^{-\omega_ut},\quad e(t)=e^{-\omega_ut}.
$$

$$
\tau_u=\frac1{\omega_u}=\frac1{2\pi GBW},\qquad
t_\epsilon=\tau_u\ln(1/\epsilon).
$$

$\epsilon=0.001$ 時 $t_{0.1\%}=6.90776\tau_u$，直接重現正文。

## 指定帶 doublet 的開迴路模型

為了使結論可重現，而不是只從 Bode 圖猜時間式，明定

$$
A(s)=\frac{\omega_u}{s}\frac{s+z}{s+p},\quad p,z>0.
$$

高頻仍有相同的 $\omega_u/s$ 漸近線。閉迴路：

$$
H(s)=\frac{\omega_u(s+z)}
{s^2+(p+\omega_u)s+\omega_uz}.
$$

若二次分母有兩個實根，寫成 $(s+\lambda_f)(s+\lambda_s)$，其中

$$
\lambda_{f,s}=\frac{p+\omega_u\pm
\sqrt{(p+\omega_u)^2-4\omega_uz}}2.
$$

階躍誤差的 Laplace 式：

$$
E(s)=\frac{1-H(s)}s
=\frac{s+p}{(s+\lambda_f)(s+\lambda_s)}.
$$

部分分式係數：

$$
A_s=\frac{p-\lambda_s}{\lambda_f-\lambda_s},\qquad
A_f=\frac{\lambda_f-p}{\lambda_f-\lambda_s},\qquad A_f+A_s=1.
$$

所以模型內精確的 step response 是

$$ y(t)=1-A_fe^{-\lambda_ft}-A_se^{-\lambda_st}. $$

這在 $t=0$ 精確為 0，且 $t\to\infty$ 為 1。

## 如何得到教材的小殘值慢尾巴

若 $p,z\ll\omega_u$，並且 $p,z$ 接近：

$$
\lambda_f\simeq\omega_u+p-z,\quad \lambda_s\simeq z,\quad
A_s\simeq\frac{p-z}{\omega_u}.
$$

定義**有號** $\Delta f=(p-z)/(2\pi)$，可得

$$
y(t)\simeq
1-(1-\delta)e^{-t/\tau_u}-\delta e^{-t/\tau_{pz}},
\quad
\delta=\frac{\Delta f}{GBW},\quad \tau_{pz}\simeq1/z.
$$

教材把快項係數再近似成 1，成為
$1-e^{-t/\tau_u}-\delta e^{-t/\tau_{pz}}$。
這一式在 $t=0$ 會給 $-\delta$，所以只能作小殘值／晚時間近似，不能當完整階躍精確解。

**尾巴符號不是固定的。** 在此明定模型中，$p>z$ 時 $A_s>0$，輸出從下方慢慢靠近終值；$p<z$ 時可從上方靠近。原圖若只標雙重項「寬度」而不定義 $p,z$ 的先後，不足以唯一決定時間曲線。

## Settling 為何變慢

在快項衰減後，若 $|A_s|>\epsilon$：

$$
t_\epsilon\simeq\frac1{\lambda_s}
\ln\frac{|A_s|}{\epsilon}.
$$

更保守的充分條件是分別要求

$$
|A_f|e^{-\lambda_ft}\le\epsilon/2,\quad
|A_s|e^{-\lambda_st}\le\epsilon/2.
$$

如果 $|A_s|\le\epsilon$，則慢尾巴從一開始就小於誤差容限，不必機械地宣稱所有 doublet 都會毀掉 settling。

## 必要近似與數值圖

| 步驟 | 條件 | 失效情況 |
|---|---|---|
| 開迴路 $\omega_u/s$ | 穿越附近由主極點控制 | 多極點、前饋 |
| 兩個實指數 | 判別式非負且極點穩定 | 複數根須改用阻尼振盪 |
| $\lambda_s\simeq z$ | $p,z\ll\omega_u$ | doublet 靠近交越 |
| $A_s\simeq(p-z)/\omega_u$ | 小間距、低頻 doublet | 大間距 |
| 只保留慢尾巴 | 快項已小且 $|A_s|>\epsilon$ | 短時間與寬容限 |

![Settling 誤差比較](assets/settling-comparison.svg)

不用 SFG：本節要解釋的是極點殘值與時間響應，部分分式比增添圖節點直接。程式檢查初值、終值、部分分式以及 0.1% settling。

例圖參數：$\omega_u/(2\pi)=1$ MHz、$p/(2\pi)=12$ kHz、$z/(2\pi)=2$ kHz。精確慢速殘值約 $0.00994$；此例達到 $0.1\%$ 誤差約需 $184.7$ µs，沒有 doublet 的單極點模型約需 $1.10$ µs。數值依上述模型計算。


## 來源對照

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| [0265](../../extraction/index.html#SANSEN-0265) | 83 | 84 | 83 |