# 第二章：模型、符號與閱讀方式

這一章的推導對照原書投影片 **021–0272**。重複的模型合併成 20 組，索引仍逐張保留。目標是從圖上的器件與連線建立方程，再判斷教材結論在哪些条件下成立。

## 三種不同的結論

- **模型內精確**：由指定的小訊號等效電路解出的式子，仍受該等效模型限制。
- **有條件近似**：明列被忽略的項、必要不等式及失效情況。
- **教材差異／待釐清**：原式的係數、符號或定義無法與同頁模型一致時，保留原式並說明；不把不一致的公式標成已證明。

各組末尾的符號驗算會對照 KCL 或矩陣解。數值曲線是這些方程的計算結果，**不是 SPICE 或器件實驗**。

## 全章共同約定

| 記號 | 意義 |
|---|---|
| $s=j\omega,\ \omega=2\pi f$ | $f$ 用 Hz，$\omega$ 用 rad/s；不可漏掉 $2\pi$ |
| $a_v=v_o/v_i$ | 有號電壓傳輸；共源級的低頻值為負 |
| $A_0=|a_v(0)|$ | 正值低頻增益大小；教材部分 $A_v$ 實際採此定義 |
| $g_o=1/r_o$ | 與原書 $g_{DS},r_{DS}$ 同義 |
| $V_{OV}=V_{GS}-V_T$ | NMOS 過驅動；PMOS 使用 $V_{SG}-|V_{TP}|$ |
| $K',KP$ | 本書 $I_D=K'(W/L)V_{OV}^2$，而 $K'=KP/(2n)$；不能再多乘一次 $1/2$ |
| $V_A=V_E L$ | 本書 MOS 的有效 Early 電壓；避免與後文直接寫成 $V_E$ 的記法混淆 |
| $G_m=g_{mn}+g_{mp}$ | CMOS 反相器的總跨導；匹配時 $G_m=2g_m$ |
| $R_S$ | 請依各圖分清「訊號源串聯電阻」與「源極退化電阻」；兩者不是同一拓撲 |

第一章投影片 0121–0122 已定義 $K'=KP/(2n)$ 與 $g_m=2I_D/V_{OV}$。第二章 029 的數值題必須使用這個定義。

## 每組推導共同繼承的假設

| ID | 原始問題 → 採用模型 | 成立條件與理由 | 失效情況 |
|---|---|---|---|
| A0 | 非線性 $I_D(V)$ → 工作點的一階微分 $i_d=g_mv_{gs}+g_{mb}v_{bs}+g_ov_{ds}$ | 擾動足夠小；二階以上項比一階項小 | 大信號、截止、離開飽和、失真分析 |
| A1 | DC 電壓源 → AC 地；理想 DC 電流源 → AC 開路 | 理想偏壓模型 | 真實偏壓源有限阻抗必須另加 $r_B$ 或其頻率模型 |
| A2 | 任意器件模型 → 本書長通道強反轉平方律 | 強反轉、飽和、固定 $K'$；推導 $g_m$ 時採局部近似 | 弱反轉、速度飽和、短通道或 $K'$ 隨偏壓顯著變化 |
| A3 | 一般四端 MOS → $g_{mb}=0$ | 只有 bulk 接 source，或明確忽略 body effect 才可用 | bulk 固定、source 擺動；應保留 $g_{mb}$ |
| A4 | 完整寄生網路 → 該節明列的電容 | 被省略電容在關注頻帶的導納足夠小 | 隱藏極點、零點或前饋路徑進入頻帶 |

「精確」均指 A0 等假設指定的模型內精確，不等同真實製程的完全精確。

## SFG 的核心原則

先寫節點方程，再消去不提供解釋價值的變數。只有在**回授、前饋或局部迴路**值得保留時才畫信號流圖。不能把整個傳輸函數塞進一條邊，卻宣稱已解釋機制。

本章只選三組：

1. Miller 電容：保留輸入回授及輸出前饋，解釋右半平面零點。
2. 高頻源極跟隨器：保留 $C_{GS}$ 的雙向耦合與正向旁路，解釋極點和峰化。
3. Gain boosting：保留輔助放大器的負回授及其頻率依賴。

其餘用微分、KCL、阻抗或二節點矩陣即可。SFG 採 **DOT 文字 → Graphviz 自動排版 → SVG**；原始連線檔亦保留，無須手動擺節點。

## 理論推導與後續仿真的界線

本文件先完成理論推導與代數驗算；各節原有數值圖仍屬方程計算。後續已另行執行 Spectre：包括 20 組的代表線性模型、MOS1 教學電晶體的 gm/Id 查表選尺寸、極零與暫態。頁面新增的「Spectre 仿真結果」入口提供實際波形與原始資料。尚未採用 foundry PDK，因此尺寸不能作為製程設計或製造依據。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
|---|---:|---:|---|
| [021](../../extraction/index.html#SANSEN-021) | 50 | 51 | 50 |
| [022](../../extraction/index.html#SANSEN-022) | 50 | 51 | 50 |
| [023](../../extraction/index.html#SANSEN-023) | 51 | 52 | 50, 51 |
| [0235](../../extraction/index.html#SANSEN-0235) | 67 | 68 | 67 |
| [0248](../../extraction/index.html#SANSEN-0248) | 74 | 75 | 74 |
| [0272](../../extraction/index.html#SANSEN-0272) | 86 | 87 | 86 |


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# 單管增益與 MOS／BJT 比較

對應：024、025、026。

## 電路與完整方程

NMOS source 接地，gate 由理想小訊號源驅動，drain 接理想偏壓電流源。先保留有限負載 $R_L$；其導納 $G_L=1/R_L$。

drain KCL：

$$
(g_o+G_L)v_o+g_m v_i=0.
$$

因此有號增益及增益大小為

$$
a_v=-\frac{g_m}{g_o+G_L}=-g_m(r_o\parallel R_L),\qquad
A_0=g_m(r_o\parallel R_L).
$$

理想电流源負載 $G_L=0$ 時，模型內精確得到 $A_0=g_mr_o$。

## 從器件電流重新得到教材式

本書平方律與 Early 電壓模型：

$$
I_D=K'\frac WL V_{OV}^{2},\quad
g_m=\left.\frac{\partial I_D}{\partial V_{GS}}\right|_Q
=2K'\frac WL V_{OV}=\frac{2I_D}{V_{OV}},
\quad r_o\simeq\frac{V_A}{I_D}.
$$

代入而不是直接引用結論：

$$
A_0\simeq
\underbrace{\frac{2I_D}{V_{OV}}}_{g_m}
\;\underbrace{\frac{V_A}{I_D}}_{r_o}
=\frac{2V_A}{V_{OV}}=\frac{2V_E L}{V_{OV}}.
$$

等價的乘法式為

$$ A_0\simeq (2I_D/V_{OV})(V_A/I_D). $$

電流消掉不表示任何改變電流的操作都不影響增益：固定 $W/L$ 時，改變 $I_D$ 也會改變 $V_{OV}$。只有在比較時固定 $V_{OV}$、以尺寸調整電流，才有此形式的電流獨立性。

BJT 由 $I_C=I_S e^{V_{BE}/U_T}$ 得

$$
g_m=I_C/U_T,\qquad r_o\simeq V_A/I_C,\qquad
A_0\simeq V_A/U_T,\quad U_T=kT/q.
$$

教材數值：MOS $V_A=10$ V、$V_{OV}=0.2$ V 得 100；BJT $V_A=26$ V、$U_T=26$ mV 得 1000。忽略級間負載時，$100^3=1000^2=10^6$，解釋 026 的三級與兩級比較。

## 必要近似

| 步驟 | 原式 → 簡式 | 條件／理由 | 何時失效 |
|---|---|---|---|
| 負載忽略 | $r_o\parallel R_L\to r_o$ | $R_L\gg r_o$；相對於簡式的差異為 $r_o/(R_L+r_o)$ | 電阻負載或有限電流源阻抗 |
| 輸出電阻 | $g_o=\partial I_D/\partial V_{DS}\to I_D/V_A$ | 線性的 channel-length modulation 近似 | $V_A$ 隨偏壓顯著改變 |
| 尺寸結論 | $2V_A/V_{OV}\to2V_E L/V_{OV}$ | $V_A\propto L$，且 $V_E$ 在比較範圍近似固定 | 短通道效應 |
| 級聯乘積 | $a_1a_2\cdots$ | 後級不負載前級、各級線性 | 有限輸入阻抗、寄生電容 |

025 的「小 $V_{OV}$、大 $L$」是上述模型的方向性結論，不能延伸成無限制降低 $V_{OV}$；A2 會先失效，且頻寬、面積與雜訊限制尚未加入。

## 方法與驗算

不用 SFG：一條 KCL 已直接顯示跨導與輸出電阻的乘積。符號檢查驗證 KCL 解與含 $R_L$ 的增益式相同。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
|---|---:|---:|---|
| [024](../../extraction/index.html#SANSEN-024) | 51 | 52 | 51 |
| [025](../../extraction/index.html#SANSEN-025) | 52 | 53 | 51, 52 |
| [026](../../extraction/index.html#SANSEN-026) | 52 | 53 | 52 |


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# 單極點、GBW 與尺寸練習

對應：027–0210；027–028 共用同一電路。

## 輸出電容主導：027–028

令 $R=r_o\parallel R_L$，只保留輸出 $C_L$。由 KCL

$$
\left(\frac1R+sC_L\right)v_o=-g_mv_i
\quad\Rightarrow\quad
a_v(s)=\frac{-g_mR}{1+sRC_L}.
$$

因此

$$ A_0=g_mR,\quad \omega_p=\frac1{RC_L},\quad BW=\frac1{2\pi RC_L}. $$

幅度與相對低頻的相位：

$$
|a_v(j\omega)|=\frac{A_0}{\sqrt{1+(\omega/\omega_p)^2}},
\qquad \Delta\phi=-\tan^{-1}(\omega/\omega_p).
$$

在 $\omega_p$ 幅度下降 $20\log_{10}(1/\sqrt2)=-3.0103$ dB，相對相位為 $-45^\circ$。高頻幅度正比 $1/\omega$，所以每十倍頻下降 20 dB。

由定義相乘可精確消去 $R$：

$$ GBW\equiv A_0BW=\frac{g_m}{2\pi C_L}. $$

但單位增益交越頻率另由 $|a_v|=1$ 解得

$$ f_u=BW\sqrt{A_0^2-1}=GBW\sqrt{1-A_0^{-2}}\qquad(A_0>1). $$

所以圖上把 $f_u$ 標成 GBW，還用了 $A_0\gg1$。圖中的相位是**相對相位**；共源級的固定反相不可遺忘。

## 029：依教材定義逐步重算

規格 $GBW=100$ MHz、$C_L=3$ pF，故

$$
g_m=2\pi(100\times10^6)(3\times10^{-12})
=1.88496\ {\rm mS}.
$$

選擇而非推導出 $V_{OV}=0.2$ V，則

$$
\frac{g_m}{I_D}=\frac2{V_{OV}}=10\ {\rm V}^{-1},\quad
I_D=\frac{g_mV_{OV}}2=188.50\ \mu{\rm A}.
$$

本書 $K'_n=50\ \mu{\rm A/V^2}$，沒有額外 $1/2$：

$$
\frac WL=\frac{I_D}{K'_n V_{OV}^2}=94.248.
$$

再**選擇** $L=4L_{\min}=2\ \mu$m，可得 $W=188.50\ \mu$m。
若按教材先把 $g_m$ 取整為 2 mS，就得到 $I_D=0.2$ mA、$W/L=100$、$W=200\ \mu$m。這些是取整差異，不是模型不一致。

$$
FOM=\frac{GBW\,C_L}{I_D}
=1591.55\ {\rm MHz\cdot pF/mA}
\simeq1500\quad\text{（採 0.2 mA 的取整電流）}.
$$

## 0210：只有輸入電容

訊號源經 $R_S$ 驅動 gate，$C_{GS}$ 接地，輸出沒有電容：

$$
\frac{v_g-v_i}{R_S}+sC_{GS}v_g=0,\qquad v_o=-g_mr_o v_g.
$$

$$
a_v=\frac{-g_mr_o}{1+sR_SC_{GS}},\quad
BW=\frac1{2\pi R_SC_{GS}},\quad
GBW=\frac{g_m}{2\pi C_{GS}}\frac{r_o}{R_S}.
$$

在此電容模型中定義 $f_T=g_m/(2\pi C_{GS})$，便是教材 $f_Tr_o/R_S$。
若再採 $C_{GS}\simeq\alpha C_{ox}WL$（長通道常用 $\alpha\simeq2/3$），則

$$
GBW\simeq\frac{V_E}{\pi\alpha R_S C_{ox}W V_{OV}}.
$$

所以圖上的 $1/(WC_{ox}V_{OV})$ 是省略固定係數的**比例關係**，不是量綱完整的等式。

## 必要近似與失效條件

| 步驟 | 原式 → 簡式 | 必要條件 | 失效時 |
|---|---|---|---|
| 單極點 | 完整寄生網路 → 一個 $C_L$ 或 $C_{GS}$ | 其他極點高於關注頻带 | 不能再從 $A_0BW$ 預測實際交越 |
| 交越 | $\sqrt{A_0^2-1}\to A_0$ | $A_0\gg1$ | $A_0$ 接近 1 時誤差很大 |
| 電容尺度 | $C_{GS}\to\alpha C_{ox}WL$ | 忽略 overlap、fringing，強反轉 | 短通道、小尺寸 |
| 設計電壓 | 指定 $V_{OV}=0.2$ V | 教材的設計選擇，須另查製程 | 不能把這個選擇當規格唯一解 |

## 方法與驗算

不用 SFG：兩個互不回授的一階關係直接相乘最清楚。數值檢查包括未取整及取整的 029 解，以及 GBW 與實際 $f_u$ 的差異。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
|---|---:|---:|---|
| [027](../../extraction/index.html#SANSEN-027) | 53 | 54 | 53 |
| [028](../../extraction/index.html#SANSEN-028) | 53 | 54 | 53 |
| [029](../../extraction/index.html#SANSEN-029) | 54 | 55 | 54 |
| [0210](../../extraction/index.html#SANSEN-0210) | 54 | 55 | 54 |


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# Miller 電容：完整傳輸、回授與右半平面零點

對應：0211、0212、0213。

## 從實際連線出發

source 接地；$R_S$ 串在訊號源與 gate 之間；$C_F$ 跨接 gate 與 drain；輸出只有 $r_o$，不另加 $C_L$。令 $G_S=1/R_S$。

兩個 KCL：

$$
(G_S+sC_F)v_g-sC_Fv_o=G_Sv_i,
$$
$$
(g_m-sC_F)v_g+(g_o+sC_F)v_o=0.
$$

第二式中的 $-sC_Fv_g$ 是從輸入向輸出的**電容前饋**，不能在 Miller 輸入等效後遺失。

## 解出完整模型

二式消元：

$$
a_v(s)=
\frac{r_o(sC_F-g_m)}
{1+sC_F[R_S+r_o+g_mR_Sr_o]}.
$$

定義 $A_0=g_mr_o$：

$$
a_v=-A_0\frac{1-s/\omega_z}{1+s/\omega_p},\quad
\omega_z=\frac{g_m}{C_F},\quad
\omega_p=\frac1{C_F[R_S+r_o+A_0R_S]}.
$$

零點在 $s=+g_m/C_F$，位於右半平面。它在幅度上增加 $+20$ dB/decade，卻使相位**再延遲** $90^\circ$。
相對低頻相位為

$$ \Delta\phi=-\tan^{-1}(\omega/\omega_p)-\tan^{-1}(\omega/\omega_z). $$

所以一個電容可以帶來「一個極點加一個 RHP 零點」的 $-180^\circ$ 相對延遲，並不代表有兩個獨立儲能狀態。

高頻極限直接取最高階係數：

$$
a_v(\infty)=\frac{r_o}{R_S+r_o+g_mR_Sr_o}
=\frac1{1+g_mR_S+R_S/r_o}.
$$

這個值是正的；低頻反相、高頻前饋同相。教材的正值增益圖沒有呈現固定的低頻負號。

## Miller 輸入等效與教材近似的每一步

對已知 $a_{og}=v_o/v_g$，電容輸入電流

$$ i_F=sC_F(v_g-v_o)=sC_F(1-a_{og})v_g. $$

低頻 $a_{og}\simeq-A_0$，所以 $C_{FM}\simeq(1+A_0)C_F$。
這是輸入埠等效，不是把跨接電容刪掉後的完整二埠等效。

| 步驟 | 原式 → 簡式 | 條件與理由 | 失效例 |
|---|---|---|---|
| M1 | $1+A_0\to A_0$ | $A_0\gg1$，忽略相對 $1/A_0$ 的 1 | 小增益 |
| M2 | $R_S+r_o+A_0R_S\to A_0R_S$ | $A_0\gg1$ **且** $g_mR_S\gg1$；分別壓低 $R_S$、$r_o$ 項 | 理想低阻訊號源 $R_S\to0$ |
| M3 | $1-s/\omega_z\to1$ | $\omega\ll\omega_z$ | 靠近零點時相位、增益均不對 |
| M4 | $1+g_mR_S+R_S/r_o\to1+g_mR_S$ | $R_S/r_o\ll1+g_mR_S$ | 很小 $r_o$ 且小跨導 |

經 M2、M3 才得到

$$ BW\simeq\frac1{2\pi R_SA_0C_F},\qquad
GBW\simeq\frac1{2\pi R_SC_F}. $$

若要進一步把此 GBW 當交越頻率，還須大增益及交越遠低於零點。未作 M2 時，$A_0 f_p$ 仍含器件參數。

## 最簡且可解釋的 SFG

只用三個節點：外部 $v_i$、實際 gate $v_g$、輸出 $v_o$。

$$
v_g=a v_i+bv_o,\quad
v_o=(c_g+c_f)v_g,
$$
$$
a=\frac1{1+sR_SC_F},\quad b=\frac{sR_SC_F}{1+sR_SC_F},\quad
c_g=\frac{-g_m}{g_o+sC_F},\quad c_f=\frac{sC_F}{g_o+sC_F}.
$$

![Miller SFG](assets/miller-sfg.svg)

[查看 SFG 的 DOT 連線文字](assets/miller-sfg.dot)

保留兩條平行的 $v_g\to v_o$ 支路，以分開反相跨導與同相電容前饋。消去 $v_g$：

$$ \frac{v_o}{v_i}=\frac{a(c_g+c_f)}{1-b(c_g+c_f)}. $$

分子兩支路在正實數 $s=g_m/C_F$ 相消，直接解釋 RHP 零點；分母就是圖上的回授迴路。SFG 與直接 KCL 的結果由符號程式檢查為相同。

## 數值核對

![完整式與近似比較](assets/miller-comparison.svg)

圖上同時畫精確模型、Miller 單極點近似與相對相位；頻帶逼近零點後，單極點近似的相位偏差會顯現。

例圖參數：$g_m=2$ mS、$r_o=50$ kΩ、$R_S=10$ kΩ、$C_F=0.5$ pF。垂直虛線為 $f_z=g_m/(2\pi C_F)$；相位以低頻反相值為基準。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
|---|---:|---:|---|
| [0211](../../extraction/index.html#SANSEN-0211) | 55 | 56 | 55 |
| [0212](../../extraction/index.html#SANSEN-0212) | 55 | 56 | 55 |
| [0213](../../extraction/index.html#SANSEN-0213) | 56 | 57 | 56 |


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# 電阻、電感與 MOS 源極退化

對應：0214–0216。這裡 $R_S$ 或 $L_S$ 位於 source 與地之間，不是 gate 前的訊號源電阻。

## 0214：先保留 $r_o$ 的低頻模型

設 source 電壓 $v_x$、退化阻抗 $Z_S$，且 bulk 跟 source 相連：

$$
i_d=g_m(v_i-v_x)+g_o(v_o-v_x),\qquad v_x=Z_Si_d.
$$

代回並收集：

$$
i_d[1+(g_m+g_o)Z_S]=g_mv_i+g_ov_o.
$$

因此短路輸出跨導與輸出電阻為

$$
G_{mS}=\left.\frac{i_d}{v_i}\right|_{v_o=0}
=\frac{g_m}{1+(g_m+g_o)Z_S},\qquad
Z_{\rm out}=\left.\frac{v_o}{i_d}\right|_{v_i=0}
=r_o+(1+g_mr_o)Z_S.
$$

取 $Z_S=R_S$ 並依序近似：

$$
G_{mR}\simeq\frac{g_m}{1+g_mR_S}\simeq\frac1{R_S},
\qquad R_{\rm out}\simeq r_o(1+g_mR_S)\simeq g_mr_oR_S.
$$

低頻、輸出短路時 $v_x/v_i=g_mR_S/[1+(g_m+g_o)R_S]$。由 $i_g=sC_{GS}(v_i-v_x)$，得到一階輸入電容係數

$$
C_{\rm in}=C_{GS}\frac{1+g_oR_S}{1+(g_m+g_o)R_S}
\simeq\frac{C_{GS}}{1+g_mR_S}.
$$

這不是任意輸出負載下通用的輸入電容。$v_x/v_i$ 會隨 drain 終端改變。

## 0215：電感退化

忽略 $r_o$、$C_{GD}$，但保留 $C_{GS}$。令 $v_{gs}=v_i-v_x$：

$$
i_g=sC_{GS}v_{gs},\quad
i_s=(g_m+sC_{GS})v_{gs},\quad v_x=sL_Si_s.
$$

所以

$$
Z_{\rm in}=\frac{v_{gs}+sL_S(g_m+sC_{GS})v_{gs}}{sC_{GS}v_{gs}}
=\frac1{sC_{GS}}+sL_S+\frac{g_mL_S}{C_{GS}}.
$$

定義 $\omega_T=g_m/C_{GS}$，電阻項為 $L_S\omega_T$。只有在
$\omega_0=1/\sqrt{L_SC_{GS}}$ 附近，容性與感性虛部相消，輸入才近似純電阻。

若在求跨導時省略 $C_{GS}$，上一節給

$$
G_{mL}\simeq\frac{g_m}{1+sg_mL_S},\qquad
Z_{\rm out}\simeq r_o(1+sg_mL_S).
$$

若保留 $C_{GS}$，短路跨導則是

$$ G_{mL}=\frac{g_m}{1+sg_mL_S+s^2L_SC_{GS}}. $$

因此教材的 $G_{mL}$ 與 $Z_{\rm in}$ 使用不同層級的電容保留方式，必須分清。

## 0216：用 triode MOS 當退化電阻

兩顆 NMOS 的 gate 同接 $v_i$；M1 source 接 M2 drain（節點 $x$），M2 source 接地。DC 幾何關係：

$$ V_{DS2}=V_{GS2}-V_{GS1}. $$

M2 的 triode 近似：

$$
I_2=KP\frac{W_2}{L_2}
\left[(V_{GS2}-V_T)V_{DS2}-\frac{V_{DS2}^2}{2}\right].
$$

分別微分：

$$
g_{o2}=KP\frac{W_2}{L_2}(V_{GS2}-V_T-V_{DS2}),\quad
g_{m2}=KP\frac{W_2}{L_2}V_{DS2}.
$$

只有 $V_{DS2}\ll V_{GS2}-V_T$ 才有

$$
r_{o2}\simeq[KP(W_2/L_2)(V_{GS2}-V_T)]^{-1},\qquad g_{m2}\ll g_{o2}.
$$

兩管電流相等給出

$$
(g_{m1}+g_{o1}+g_{o2})v_x
=(g_{m1}-g_{m2})v_i+g_{o1}v_o.
$$

因此

$$
R_{\rm out}=r_{o1}+r_{o2}+g_{m1}r_{o1}r_{o2},
$$

$$
G_{m,\rm eff}
=\frac{g_{m1}g_{o2}+g_{m2}(g_{m1}+g_{o1})}
{g_{m1}+g_{o1}+g_{o2}}.
$$

**教材差異：輸入電容。** M2 source 接地，其 $C_{GS2}$ 沒有被 source 跟隨所自舉。只計兩個 $C_{GS}$ 時，

$$
C_{\rm in}=C_{GS1}(1-H_x)+C_{GS2},\qquad
H_x=\left.\frac{v_x}{v_i}\right|_{v_o=0}.
$$

不能從此連線得到投影片的 $(C_{GS1}+C_{GS2})/(1+g_{m1}r_{o2})$。若另計 M2 的 $C_{GD2}$，它應與 $C_{GS1}$ 一樣乘 $1-H_x$。

## 必要近似

| 原式 → 簡式 | 條件 | 失效情況 |
|---|---|---|
| $g_m+g_o\to g_m$ | $g_mr_o\gg1$ | 低 intrinsic gain |
| $r_o+(1+g_mr_o)R_S\to r_o(1+g_mR_S)$ | 被省的 $R_S\ll r_o(1+g_mR_S)$ | 串聯項顯著 |
| $g_m/(1+g_mR_S)\to1/R_S$ | $g_mR_S\gg1$ | 弱退化 |
| $C_{\rm in}$ 分子 $1+g_oR_S\to1$ | $R_S\ll r_o$ | 只用 $g_mr_o\gg1$ 不夠 |
| 忽略 $s^2L_SC_{GS}$ | $\omega^2L_SC_{GS}\ll|1+j\omega g_mL_S|$ | 共振附近 |
| 理想電感無額外熱雜訊 | 損耗電阻為零 | 真實 ESR／基板損耗 |
| M2 視為固定電阻 | $g_{m2}$ 項相對保留項足夠小 | 「0.2 V 很小」不是充分條件 |

不用 SFG：一個 source 電壓的消元已明確顯示負回授作用。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
|---|---:|---:|---|
| [0214](../../extraction/index.html#SANSEN-0214) | 56 | 57 | 56, 57 |
| [0215](../../extraction/index.html#SANSEN-0215) | 57 | 58 | 57 |
| [0216](../../extraction/index.html#SANSEN-0216) | 57 | 58 | 57 |


---

# 二極體連接與低阻抗負載放大器

對應：0217–0222。

## 0217–0219：gate 與 drain 短接

NMOS $V_{DS}=V_{GS}=V$，source 與 bulk 接地。導通時 $V>V_T$；對正閾值有 $V\ge V-V_T$，因此在長通道飽和區：

$$ I_D=K'\frac WL(V-V_T)^2. $$

同一埠的小電壓使 $v_{gs}=v_{ds}=v$：

$$ i=(g_m+g_o)v,\quad r_d=\frac1{g_m+g_o}=(1/g_m)\parallel r_o. $$

加入 $C_{GS}+C_{DS}$；$C_{GD}$ 兩端短接：

$$
Z_d(s)=\frac1{g_m+g_o+s(C_{GS}+C_{DS})},\qquad
BW=\frac{g_m+g_o}{2\pi(C_{GS}+C_{DS})}.
$$

先用 $g_o\ll g_m$，再用 $C_{DS}\simeq C_{GS}$，才得到 $BW\simeq f_T/2$，其中 $f_T\simeq g_m/(2\pi C_{GS})$。兩個電容接近相等是教材的額外數值假設。

## 0220：上方 NMOS 二極體負載

M1 source 接地；M2 gate、drain 接 AC 地的 $V_{DD}$，source 接輸出。從輸出看 M2 的導納為 $g_{m2}+g_{mb2}+g_{o2}$：

$$
[g_{o1}+g_{o2}+g_{m2}+g_{mb2}]v_o=-g_{m1}v_i.
$$

$$
a_v=-\frac{g_{m1}}{g_{m2}+g_{mb2}+g_{o1}+g_{o2}},\quad
R_{\rm out}=\frac1{g_{m2}+g_{mb2}+g_{o1}+g_{o2}}.
$$

忽略 body effect 與 $g_o$ 才得到增益大小 $g_{m1}/g_{m2}$。在兩管**同電流、同 $K'$**時：

$$
\frac{g_{m1}}{g_{m2}}
=\sqrt{\frac{(W/L)_1}{(W/L)_2}}
=\frac{V_{OV2}}{V_{OV1}}.
$$

DC 有 $V_O=V_{DD}-V_{GS2}(V_O)$。M2 bulk 接地時，$V_{T2}$ 隨 $V_O$ 變化；DC 與 AC 的 body effect 都不能憑空消失。

## 0221：兩管 source 接地，電流源供應總電流

M1 drain 與二極體連接 M2 的 gate/drain 同接輸出；總電流源為 $2I_B$：

$$
I_1+I_2=2I_B,\quad
(g_{o1}+g_{o2}+g_{m2})v_o=-g_{m1}v_i.
$$

所以小訊號式等於上一節移除 $g_{mb2}$。一般跨導比為

$$
\frac{g_{m1}}{g_{m2}}=
\sqrt{\frac{K'_1(W/L)_1 I_1}{K'_2(W/L)_2 I_2}}.
$$

只有選 $I_1=I_2=I_B$，才化為尺寸比平方根。若同時要求 $V_{O,DC}=V_{I,DC}$ 且閾值相同，則兩管 $V_{OV}$ 相同；再要求等電流，便必須尺寸相同，增益大小為 1。

**教材對照：**「同 DC 輸入輸出、任意尺寸比增益、等電流」不能全部當成獨立且同時成立的條件。

用平方律還可直接解 0221 的 DC 曲線：

$$ V_O=V_T+\sqrt{\frac{2I_B-k_1(V_I-V_T)^2}{k_2}}. $$

只要根號內為正且兩管維持飽和，對它微分就得到
$a_v=-k_1(V_I-V_T)/[k_2(V_O-V_T)]=-g_{m1}/g_{m2}$。
若 $V_O=V_I$，此時增益大小為 $k_1/k_2$；只有另選等電流時才採平方根尺寸比。名字中的「linear」不代表整條 DC 曲線嚴格線性。

## 0222：M2 gate 改接輸入

兩管 source、drain、gate 分別相接，等效跨導相加：

$$
G_m=g_{m1}+g_{m2},\quad
a_v=-G_m(r_{o1}\parallel r_{o2}),\quad
R_{\rm out}=r_{o1}\parallel r_{o2}.
$$

教材的 $g_mR_{\rm out}$ 若要成立，$g_m$ 必須表示合併後的**總跨導**。

## 必要近似

| 原式 → 簡式 | 條件 | 失效情況 |
|---|---|---|
| $1/(g_m+g_o)\to1/g_m$ | $g_mr_o\gg1$ | 低增益器件 |
| $C_{GS}+C_{DS}\to2C_{GS}$ | 兩個電容接近，其他電容可忽略 | 不同 bias／尺寸 |
| 負載導納 $\to g_{m2}$ | $g_{mb2},g_{o1},g_{o2}\ll g_{m2}$ | 上方 NMOS 的 body effect |
| 跨導比 → 尺寸比平方根 | $I_1=I_2$、同 $K'$ | 0221 一般會不等分流 |

不用 SFG：短接已直接化成埠導納，KCL 更簡單。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
|---|---:|---:|---|
| [0217](../../extraction/index.html#SANSEN-0217) | 58 | 59 | 58 |
| [0218](../../extraction/index.html#SANSEN-0218) | 58 | 59 | 58 |
| [0219](../../extraction/index.html#SANSEN-0219) | 59 | 60 | 58, 59 |
| [0220](../../extraction/index.html#SANSEN-0220) | 59 | 60 | 59 |
| [0221](../../extraction/index.html#SANSEN-0221) | 60 | 61 | 60 |
| [0222](../../extraction/index.html#SANSEN-0222) | 60 | 61 | 60 |


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# CMOS 反相器的工作點與大信號電流

對應：0223–0227、0234。

## 連線與 KCL

NMOS source 接地，PMOS source 接 $V_{DD}$；兩 gate 接 $V_I$，兩 drain 接 $V_O$。正值 $I_n,I_p$ 分別代表吸入地與從電源供出的電流：

$$
V_{GSn}=V_I,\quad V_{DSn}=V_O,\quad
V_{SGp}=V_{DD}-V_I,\quad V_{SDp}=V_{DD}-V_O.
$$

$$ C_L\frac{dV_O}{dt}=I_p-I_n. $$

DC 時 $I_n=I_p$；瞬態中差值就是電容充放電電流。

## 由電流相等解切換中心

令 $k_n=K'_n(W/L)_n,\ k_p=K'_p(W/L)_p$。两管飽和且忽略 channel-length modulation：

$$
I_n=k_n(V_I-V_{Tn})^2,\quad
I_p=k_p(V_{DD}-V_I-|V_{Tp}|)^2.
$$

取正平方根並解出：

$$
V_M=\frac{\sqrt{k_p}(V_{DD}-|V_{Tp}|)+\sqrt{k_n}V_{Tn}}
{\sqrt{k_n}+\sqrt{k_p}}.
$$

若 $V_{Tn}=|V_{Tp}|=V_T$ 且要求 $V_M=V_{DD}/2$，得到 $k_n=k_p$：

$$
K'_n\frac{W_n}{L_n}=K'_p\frac{W_p}{L_p},\qquad
I_{DQ}=k_n(V_{DD}/2-V_T)^2.
$$

但忽略 $g_o$ 的平方律在雙飽和區**不能唯一決定 $V_O$**。輸出滿足

$$ V_I-V_{Tn}\le V_O\le V_I+|V_{Tp}| $$

即可維持兩管飽和。要真正解出 $V_O=V_{DD}/2$，須保留有限輸出導納、對稱性或偏壓回授；不能只靠 $k_n=k_p$ 宣稱該輸出唯一。

## 0225–0226 的完整曲線如何求

對每個輸入，按 cutoff、triode、saturation 選電流式，再解 $I_n(V_I,V_O)=I_p(V_I,V_O)$：

- 低輸入：NMOS 截止，輸出接近 $V_{DD}$。
- 高輸入：PMOS 截止，輸出接近 0。
- 中間：兩管導通，局部斜率由下一組的小訊號式求出。

理想模型的兩端 DC 電流為零；真實漏電不在此模型中。教材把完整 DC 曲線交由 SPICE 處理；本輪沒有宣稱平方律能還原實際製程所有細節。

## 0223、0234：Class A 與 Class AB

PMOS gate 固定且理想電流源近似成立時，供出電流約為偏壓值。兩 gate 同驅動時，兩管分別增加／減少供出與吸入電流：

$$
\frac{dV_O}{dt}=\frac{I_p-I_n}{C_L}.
$$

若其中一管電流遠大於另一管，充電斜率才可近似 $I_p/C_L$，放電斜率大小才近似 $I_n/C_L$。不能將線性 $v_o=a_vv_i$ 外推至整個 rail-to-rail 範圍。

## 條件與設計選擇

| 步驟 | 條件 | 失效情況 |
|---|---|---|
| $V_M=V_{DD}/2$ | 相同閾值、匹配 $k$；對稱設計選擇 | mismatch |
| $W_p/L_p\simeq2W_n/L_n$ | 採本書 $K'_n/K'_p\simeq2$ | 不是跨製程常數 |
| PMOS 電流固定 | 高輸出阻抗且在飽和區 | 接近 rail |
| $i_L$ 近似單管電流 | 另一管可忽略 | 交越區 |

不用 SFG：DC 與大信號分區不適合強行使用線性信號流圖。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
|---|---:|---:|---|
| [0223](../../extraction/index.html#SANSEN-0223) | 61 | 62 | 61 |
| [0224](../../extraction/index.html#SANSEN-0224) | 61 | 62 | 61 |
| [0225](../../extraction/index.html#SANSEN-0225) | 62 | 63 | 61, 62 |
| [0226](../../extraction/index.html#SANSEN-0226) | 62 | 63 | 62 |
| [0227](../../extraction/index.html#SANSEN-0227) | 63 | 64 | 63 |
| [0234](../../extraction/index.html#SANSEN-0234) | 66 | 67 | 66 |


---

# CMOS 反相器的增益、兩極點與 Miller 限制

對應：0228–0233。

## 用總跨導避免倍數混淆

$$ G_m=g_{mn}+g_{mp},\quad G_o=g_{on}+g_{op},\quad R_o=1/G_o. $$

輸入上升，NMOS 吸入增大、PMOS 供出減小，兩項都使輸出下降：

$$
(G_o+sC_L)v_o=-G_mv_i,\quad
a_v=-\frac{G_mR_o}{1+sR_oC_L}.
$$

$$
A_0=G_mR_o,\quad BW=\frac1{2\pi R_oC_L},\quad GBW=\frac{G_m}{2\pi C_L}.
$$

匹配且兩管同 $I_D,V_{OV},V_A$：

$$
G_m=2g_m,\quad G_o=2g_o,\quad R_o=r_o/2,\quad
a_v(0)=-g_mr_o\simeq-\frac{2V_A}{V_{DD}/2-V_T}.
$$

這解釋 current reuse：同一 DC 電流產生兩個 AC 跨導。0229 正文將 $r_o/2$ 說成 $2/g_o$ 是倒數錯誤；應為 $1/(2g_o)$。

## 0231：只有輸入、輸出對地電容

令 $C_i=C_{GSn}+C_{GSp}$，gate 前有 $R_S$：

$$ a_v=\frac{-G_mR_o}{(1+sR_SC_i)(1+sR_oC_L)}. $$

兩極點為 $1/(R_SC_i)$、$1/(R_oC_L)$。若 $R_SC_i\gg R_oC_L$，輸入極點主導。若還要把主極點 GBW 當交越頻率，另一極點須高於交越，光是高於主極點仍不足。

$$ GBW_i\simeq\frac{G_mR_o}{2\pi R_SC_i}. $$

匹配時 $C_i=2C_{GS}$，單管 $f_T=g_m/(2\pi C_{GS})$：

$$ GBW_i=\frac{f_Tr_o}{2R_S}. $$

**教材差異：** 0231 寫 $f_Tr_{DS}/R_S$，主導條件寫 $R_SC_{GSt}>r_{DS}C_L$。按同章 $r_{DS}$ 是單管阻抗的定義，這兩處都少了係數 $1/2$。若改定義成總 $R_o$，必須明示。

## 0232–0233：加入 $C_F=C_{GDn}+C_{GDp}$

完整矩陣：

$$
\begin{bmatrix}
G_S+s(C_i+C_F)&-sC_F\\
G_m-sC_F&G_o+s(C_L+C_F)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}v_g\\v_o\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}G_Sv_i\\0\end{bmatrix}.
$$

展開：

$$ a_v(s)=\frac{-A_0(1-sC_F/G_m)}{1+a_1s+a_2s^2}, $$

$$ a_1=R_o(C_L+C_F)+R_S(C_i+C_F)+A_0R_SC_F, $$

$$ a_2=R_SR_o(C_iC_L+C_iC_F+C_FC_L). $$

$$
s_{p1,p2}=\frac{-a_1\pm\sqrt{a_1^2-4a_2}}{2a_2},\qquad
s_z=\frac{G_m}{C_F}.
$$

匹配時零點為 $2g_m/C_F$。0232 若写 $1-sC_F/g_m$，其中 $g_m$ 必須是總跨導，否則零點差一倍。

## 逐步化成教材分母

先令 $C_i=0$，再忽略 $C_F(R_o+R_S)$：

$$
a_v\simeq\frac{-A_0(1-sC_F/G_m)}
{1+s(R_oC_L+A_0R_SC_F)+s^2R_SR_oC_FC_L}.
$$

| 近似 | 必要條件 | 失效時 |
|---|---|---|
| 忽略 $C_i$ | 對 $a_1,a_2$ 貢獻均遠小於保留項 | 用完整矩陣 |
| 省 $C_F(R_o+R_S)$ | $C_F(R_o+R_S)\ll R_oC_L+A_0R_SC_F$ | 大 $A_0$ 本身不保證可省 |
| 根分離 | $a_1^2\gg4a_2$ | 用完整二次方程 |
| Miller 主導 | $G_mR_SC_F\gg C_L$ | 交界處保留兩個時間常數 |
| GBW 近似交越 | 大 $A_0$、交越遠離零點和次極點 | 不可只乘低頻增益與 BW |

根分離時 $\omega_d\simeq1/a_1,\ \omega_{nd}\simeq a_1/a_2$。0233 的條件因此為

$$
R_SC_F\gg\frac{C_L}{G_m}=\frac1{2\pi GBW_{\rm load}},
\qquad GBW_{\rm Miller}\simeq\frac1{2\pi R_SC_F}.
$$

SFG 機制與 03 組相同，只需換成總 $G_m$ 並加入對地電容，不再畫重複圖。矩陣行列式、零點及匹配因子均由符號程式檢查。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
|---|---:|---:|---|
| [0228](../../extraction/index.html#SANSEN-0228) | 63 | 64 | 63 |
| [0229](../../extraction/index.html#SANSEN-0229) | 64 | 65 | 63, 64 |
| [0230](../../extraction/index.html#SANSEN-0230) | 64 | 65 | 64 |
| [0231](../../extraction/index.html#SANSEN-0231) | 65 | 66 | 65 |
| [0232](../../extraction/index.html#SANSEN-0232) | 65 | 66 | 65, 66 |
| [0233](../../extraction/index.html#SANSEN-0233) | 66 | 67 | 66 |


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# Source／emitter follower 的 DC、增益與阻抗

對應：0236–0240；亦供 0266–0268 的總表引用。

## MOS：固定電流如何產生跟隨

drain 接 AC 地，輸出在 source。若 bulk 跟 source 相連、理想偏壓電流固定且忽略 $r_o$：

$$
I_B=K'(W/L)(V_{GS}-V_{T0})^2
\Rightarrow V_{GS}=V_{T0}+\sqrt{I_B/[K'(W/L)]}.
$$

$V_{GS}$ 在這個模型中固定，所以 $V_O=V_I-V_{GS}$，微分後 $a_v=1$。

若保留 $g_o$、固定 bulk 的 $g_{mb}$、負載／偏壓導納 $G_B$，source KCL 是

$$
[g_m+g_{mb}+g_o+G_B+sC_L]v_o=g_mv_i.
$$

因此

$$
a_v(s)=\frac{g_m}{g_m+g_{mb}+g_o+G_B+sC_L},\qquad
R_{\rm out,amp}=\frac1{g_m+g_{mb}+g_o}.
$$

若把偏壓支路也包含在量測內，$R_{\rm out}$ 還要與 $1/G_B$ 並聯。

## 0238–0239：bulk 固定的微分

固定 $K'$、固定電流時

$$
V_I=V_O+V_{T0}+\gamma[\sqrt{\Phi+V_O}-\sqrt{\Phi}]+V_{OV},
\quad \Phi=|2\phi_F|.
$$

對 $V_O$ 微分：

$$
\frac{dV_I}{dV_O}=1+\frac{\gamma}{2\sqrt{\Phi+V_O}}
=1+\frac{g_{mb}}{g_m}\equiv n.
$$

所以

$$ a_v=\frac1n,\quad R_{\rm out}\simeq\frac1{ng_m}<\frac1{g_m}. $$

$n$ 是**工作點局部值**，不能當固定全域斜率。再微分可得此固定電流模型的曲率：

$$
\frac{d^2V_O}{dV_I^2}
=\frac{\gamma}{4(\Phi+V_O)^{3/2}n^3}.
$$

0239 的曲線可說明「body effect 使增益小於 1 且非線性」，不應將示意曲線的具體曲率當成此簡化模型的數值結果。負載電流或 $K'$ 隨偏壓改變時，上面的固定電流曲率也會改變。

## 0240：BJT 的有限 base 電流

先忽略 $r_o$，令 $r_\pi=\beta/g_m$，外部 base 電阻為 $r_b$。由
$i_e=(\beta+1)i_b,\ v_{be}=r_\pi i_b$：

若 emitter 負載為 $R_E$，

$$
R_{\rm in,base}=r_b+r_\pi+(\beta+1)R_E,
$$

$$
\frac{v_o}{v_i}
=\frac{(\beta+1)R_E}
{R_S+r_b+r_\pi+(\beta+1)R_E}.
$$

輸入置零、向 emitter 注入測試電流：

$$
R_{\rm out}=\frac{R_S+r_b+r_\pi}{\beta+1}
=\frac{\beta}{\beta+1}\frac1{g_m}
+\frac{R_S+r_b}{\beta+1}.
$$

用 $\beta\gg1$ 才得到教材
$R_{\rm out}\simeq1/g_m+(R_S+r_b)/(\beta+1)$，進一步可把 $\beta+1$ 換成 $\beta$。

## 近似記錄

| 原式 → 簡式 | 必要條件 | 失效情況 |
|---|---|---|
| MOS $a_v\to1$ | $g_{mb}+g_o+G_B\ll g_m$ | body effect、重負載 |
| $R_{\rm out}\to1/g_m$ | 同上但需區分是否包含外接負載 | 理想電流源不代表器件 $r_o=\infty$ |
| body effect $a_v=1/n$ | 固定電流、固定 $K'$；忽略 $g_o,G_B$ | 有限偏壓阻抗 |
| BJT $a_v\to1$ | $(\beta+1)R_E\gg R_S+r_b+r_\pi$ | 小 emitter 負載 |
| $\beta/(\beta+1)\to1$ | $\beta\gg1$ | 低電流或高頻 $\beta$ 下降 |

不用 SFG：此處 DC 微分與單節點 KCL 已足够。高頻跨接電容留到下一組才使用 SFG。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
|---|---:|---:|---|
| [0236](../../extraction/index.html#SANSEN-0236) | 67 | 68 | 67 |
| [0237](../../extraction/index.html#SANSEN-0237) | 68 | 69 | 68 |
| [0238](../../extraction/index.html#SANSEN-0238) | 68 | 69 | 68, 69 |
| [0239](../../extraction/index.html#SANSEN-0239) | 69 | 70 | 69 |
| [0240](../../extraction/index.html#SANSEN-0240) | 69 | 70 | 69, 70 |


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# 高頻源極跟隨器：二階模型、峰化與真正的極零相消

對應：0241–0243。

## 電路與符號

drain 為 AC 地，bulk 跟 source 相連；$R_S$ 串在訊號源和 gate 間。定義

$$
C_g=C_{GS},\quad C_d=C_{GD},\quad C_0=C_L+C_{DS},\quad
g=g_o+G_B,\quad G_S=1/R_S.
$$

$C_g$ 跨 gate–source；$C_d$ 因 drain 接地，成為 gate 對地電容。輸出是 source，不能套用共源級 Miller 增益。

## 完整二節點方程

$$
[G_S+s(C_d+C_g)]v_g-sC_gv_o=G_Sv_i,
$$

$$
-(g_m+sC_g)v_g+[g_m+g+s(C_g+C_0)]v_o=0.
$$

令

$$
C_2=C_0C_d+C_0C_g+C_dC_g,
$$

$$
D(s)=g_m+g+s[C_g+C_0+R_Sg_mC_d+R_Sg(C_d+C_g)]
+s^2R_SC_2.
$$

則

$$
H(s)=\frac{v_o}{v_i}=\frac{g_m+sC_g}{D(s)},\qquad
Z_o(s)=\left.\frac{v_o}{i_{\rm test}}\right|_{v_i=0}
=\frac{1+sR_S(C_d+C_g)}{D(s)}.
$$

這兩個傳輸共用同一分母，但分子不同，所以零點不同。

## 0241：化成教材形式

令 $g=0$，除以 $g_m$：

$$
H=\frac{1+sC_g/g_m}{1+sB+s^2R_SC_2/g_m},\quad
B=R_SC_d+\frac{C_g+C_0}{g_m}.
$$

教材另外保留 $R_SC_g/(g_mr_o)$，卻省去常數 $1/(g_mr_o)$ 與
$R_SC_d/(g_mr_o)$。這是選擇性的一階修正；若需要有限 $r_o$ 的一致模型，應使用上面的完整 $D(s)$。

電壓零點為 $s_{zv}=-g_m/C_g$（左半平面）。若令分母 $a_0+a_1s+a_2s^2$，則

$$
s_{p1,p2}=\frac{-a_1\pm\sqrt{a_1^2-4a_0a_2}}{2a_2}.
$$

複數極點條件是 $a_1^2<4a_0a_2$。**複數極點不必然造成可見的增益峰值**：零點及阻尼還會影響幅度，需要實際計算 $|H(j\omega)|$。

## 0242：複數極點區域的精確邊界

以下令 $g=0$，並在掃描 $g_m$ 時先把電容視為固定。設

$$
B_c=C_g+C_0,\quad
r=\frac{C_0C_g}{C_d(C_0+C_g)},\quad k=1+r,\quad
g_{mr}=\frac{B_c}{R_SC_d},\quad x=\frac{g_m}{g_{mr}}.
$$

將判別式除以 $B_c^2$：

$$
(x+1)^2-4kx<0.
$$

因此真正的邊界為

$$
x_\pm=(\sqrt{k}\pm\sqrt{k-1})^2,\qquad
g_{m,\pm}=g_{mr}x_\pm,\qquad x_+x_-=1.
$$

教材的 $g_{mr}$ 正是兩個邊界的幾何中心。但若把「寬度」定義成上下界比，

$$
W_g=\frac{g_{m,+}}{g_{m,-}}
=(\sqrt{k}+\sqrt{k-1})^4,
$$

就不是投影片列的 $\Delta g_{mr}=C_{DGt}/C_{DG}=r$。
原圖的 $C_{DGt}=C_0C_g/(C_0+C_g)$ 可視為一個電容比參數，但不能不加定義地當作精確區域寬度，再套 $g_{mr}/\sqrt{\Delta g_{mr}}$ 求下界。

## 將零點代入分母：不能只看漸近線交叉

電壓零點 $s=-g_m/C_g$ 代入：

$$
D(-g_m/C_g)=
\frac{C_0g_m}{C_g^2}
[R_Sg_m(C_d+C_g)-C_g].
$$

除去退化情況，精確相消條件是

$$
g_{m,\rm cancel}=\frac{C_g}{R_S(C_d+C_g)}
\simeq\frac1{R_S}\quad(C_d\ll C_g).
$$

這說明 0242 的 $1/R_S$ 是近似而非一般精確相消點。

輸出阻抗零點是

$$
s_{zo}=-\frac1{R_S(C_d+C_g)}
\simeq-\frac1{R_SC_g}.
$$

把它代入同一分母得到**相同的精確相消條件**。在該點：

$$
Z_o(s)=\frac1{g_m+s[C_0+C_gC_d/(C_g+C_d)]},
$$

$$
H(s)=\frac{g_m}{g_m+s[C_0+C_gC_d/(C_g+C_d)]}.
$$

0243 的
$g_{mu}\simeq(C_g+C_{DS})/[R_S(C_g+C_d)]$
是把近似極點與零點位置對齊的估計；它只有在 $C_{DS}\ll C_g$ 等條件下接近上面的精確相消值。保留任意 $C_{DS}$ 時，代入完整分母不會得到零。

高 $g_m$ 時，一個極點趨向 $-1/(R_SC_d)$，因此可得到圖中的
$f_{d,\rm high\,gm}\simeq1/(2\pi R_SC_d)$。輸出阻抗先升後降的區段可呈感性。

## 最小 SFG

$$
v_g=a v_i+bv_o,\qquad v_o=c v_g,
$$

$$
a=\frac{G_S}{G_S+s(C_d+C_g)},\quad
b=\frac{sC_g}{G_S+s(C_d+C_g)},\quad
c=\frac{g_m+sC_g}{g_m+g+s(C_g+C_0)}.
$$

![Follower SFG](assets/follower-sfg.svg)

[查看 SFG 的 DOT 連線文字](assets/follower-sfg.dot)

$g_m$ 與 $sC_g$ 保留為平行正向支路，$C_g$ 返回 gate 的支路也保留。
$H=ac/(1-bc)$ 與完整矩陣完全相同。額外的 source 電流變數已消去，因為它不增加峰化機制的解釋。

## 近似與驗算

| 原式 → 簡式 | 條件 | 失效情況 |
|---|---|---|
| $g\to0$ | 不只 $g\ll g_m$，還須 $R_Sg(C_d+C_g)$ 對 $a_1$ 足夠小 | 大 $R_S$ |
| $C_d+C_g\to C_g$ | $C_d\ll C_g$ | 補償電容加大後 |
| $g_{m,\rm cancel}\to1/R_S$ | 同上 | 0242 的補償正會改變此比值 |
| 極點漸近交點 → 精確相消 | 必須另外驗 $D(s_z)=0$ | 複數極點或電容比不小 |
| 固定電容掃 $g_m$ | 局部模型比較 | 真實偏壓變動也改變電容 |

![峰化與精確相消比較](assets/follower-comparison.svg)

圖中標出完整模型相消值與教材估計值。符號程式驗證兩個零點代入結果及相消後的一階式。

例圖固定 $R_S=10$ kΩ、$C_g=1$ pF、$C_d=0.2$ pF、$C_{DS}=3$ pF、$C_L=0$、$g=0$。完整相消值為 $83.33$ µS，0243 估式為 $333.33$ µS，複數極點區域的幾何中心為 $2$ mS。這是固定電容的模型比較，不是掃描真實器件偏壓。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
|---|---:|---:|---|
| [0241](../../extraction/index.html#SANSEN-0241) | 70 | 71 | 70 |
| [0242](../../extraction/index.html#SANSEN-0242) | 71 | 72 | 70, 71 |
| [0243](../../extraction/index.html#SANSEN-0243) | 71 | 72 | 71 |


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# BJT 高頻輸出阻抗：有限 beta 與擴散電容

對應：0244。

## 先指定足夠完整的模型

collector 接 AC 地；base 經 $R_S$ 接地（量測輸出阻抗時輸入置零），忽略 base spreading resistance 時：

$$
g_\pi=1/r_\pi=g_m/\beta,\quad
Y_\pi=g_\pi+sC_\pi,\quad
C_\pi=C_{jE}+g_m\tau_F.
$$

$C_\mu$ 是 base–collector 電容，$C_{CE}$ 是 emitter 對 AC 地電容。若要保留 $r_b$，將外部 $R_S$ 換成 $R_S+r_b$。

由 base 與 emitter KCL：

$$
\begin{bmatrix}
G_S+Y_\pi+sC_\mu&-Y_\pi\\
-(g_m+Y_\pi)&g_m+Y_\pi+g_o+sC_{CE}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}v_b\\v_e\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}0\\i_t\end{bmatrix}.
$$

因此

$$
Z_e(s)=\frac{N(s)}{D(s)},\quad
N=G_S+Y_\pi+sC_\mu,
$$

$$
D=N(g_m+Y_\pi+g_o+sC_{CE})-Y_\pi(g_m+Y_\pi).
$$

這是本模型內完整式；用其二次多項式的判別式求複數極點，用 $D(s_z)$ 檢查相消。

## 零點與教材對照

$$
s_z=-\frac{G_S+g_\pi}{C_\pi+C_\mu},\qquad
f_z=\frac1{2\pi(R_S\parallel r_\pi)(C_\pi+C_\mu)}.
$$

這一式直接重現 0244 的零點。$\beta\to\infty$ 才能把 $R_S\parallel r_\pi$ 改成 $R_S$。

在 $g_o=0$ 下，常見的非退化相消條件來自
$g_m+Y_\pi(s_z)=0$：

$$
g_m(C_\pi+C_\mu)+g_\pi C_\mu-G_SC_\pi=0.
$$

代入 $C_\pi=C_{jE}+g_m\tau_F$、$g_\pi=g_m/\beta$：

$$
\tau_Fg_m^2+
g_m(C_{jE}+C_\mu+C_\mu/\beta-G_S\tau_F)
-G_SC_{jE}=0.
$$

令括號係數為 $b$，可用正根

$$
g_{m,\rm cancel}=\frac{-b+\sqrt{b^2+4\tau_FG_SC_{jE}}}{2\tau_F}.
$$

若擴散電容可忽略、$\beta\gg1$，才化為

$$ g_{m,\rm cancel}\simeq\frac{C_{jE}}{R_S(C_{jE}+C_\mu)}. $$

## 哪些原圖公式不能直接當精確值

0244 的 $g_{mu}\simeq(C_{jE}+C_{CE})/[R_S(C_{jE}+C_\mu)]$ 在
$C_{CE}\ll C_{jE}$、$g_m\tau_F\ll C_{jE}$、$\beta\gg1$ 時接近上式；任意保留 $C_{CE}$ 時並非完整模型的相消解。

原圖的 $g_{mr}=(C_\pi+C_{CE})/[R_S(C_\pi+C_\mu)]$ 也不能直接視為精確複數極點區域中心。若凍結所有電容且取 $\beta\to\infty,g_o=0$，上一組推導的中心應為

$$ g_{mr,\rm frozen}=\frac{C_\pi+C_{CE}}{R_SC_\mu}. $$

這與原式分母不同。若讓 $C_\pi$ 隨 $g_m$ 變動，則需指定 $\tau_F,C_{jE},\beta$ 再解判別式，不能只替换字母。**此原圖中心式列為模型／記號待釐清，未標成已證明。**

## 感性阻抗

再忽略 $g_\pi,g_o,C_\mu,C_{CE}$，可得

$$ Z_e=\frac{1+sR_SC_\pi}{g_m+sC_\pi}. $$

在 $\omega\ll\omega_T=g_m/C_\pi$ 展開：

$$
Z_e\simeq\frac1{g_m}
+s\frac{C_\pi}{g_m}\left(R_S-\frac1{g_m}\right).
$$

若 $g_mR_S\gg1$，等效電感 $L\simeq R_S/\omega_T$，重現原圖。

## 方法與限制

不另畫 SFG：它是上一組模型增加 $g_\pi$ 的版本，矩陣最容易核對。不能用「BJT 類似 MOS」而省掉 finite beta、擴散電容及原圖未交代的跨導掃描條件。符號檢查涵蓋矩陣、零點與相消條件，未確認的 $g_{mr}$ 式明列於差異表。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
|---|---:|---:|---|
| [0244](../../extraction/index.html#SANSEN-0244) | 72 | 73 | 71, 72 |


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# 主動電感、頻率範圍與差動兩倍因子

對應：0245–0247。

## 0245：從輸出測試電流解阻抗

量測 source 輸出阻抗時，gate 經 $R_S$ 接 AC 地。只保留 $C_{GS}=C$、$g_m$，暫時移除外接 $C_L$：

$$
(G_S+sC)v_g-sCv_o=0,\qquad
i_t=(g_m+sC)(v_o-v_g).
$$

先解 $v_g=sR_SCv_o/(1+sR_SC)$，代入：

$$
Z_o=\frac{1+sR_SC}{g_m+sC}.
$$

低頻與高頻極限為

$$ Z_o(0)=1/g_m,\qquad Z_o(\infty)=R_S. $$

以 $\omega_T=g_m/C$，精確重寫：

$$
Z_o=\frac1{g_m}+
\frac{sL_{\rm eff}}{1+s/\omega_T},\qquad
L_{\rm eff}=\frac{R_S-1/g_m}{\omega_T}.
$$

在 $\omega\ll\omega_T$ 且 $g_mR_S\gg1$ 時，

$$ Z_o\simeq\frac1{g_m}+sL,\qquad L\simeq R_S/\omega_T=R_S/(2\pi f_T). $$

感性項顯著的頻帶約為

$$ \frac{\omega_T}{g_mR_S}\ll\omega\ll\omega_T. $$

因此教材「up to $f_T$」應理解為尺度上限，並非在 $f_T$ 處仍能無誤差使用純電感近似。$R_S$ 是高頻平台，不是低頻串聯電阻；低頻串聯電阻是 $1/g_m$。

若原圖保留外接 $C_L$，總阻抗還要取

$$ Z_{\rm loaded}=[Z_o^{-1}+sC_L]^{-1}. $$

不能一面保留 $C_L$，一面宣稱上面的無負載 $Z_o$ 是總阻抗。

## 0246：用 MOS 電阻代替 $R_S$

二極體接法 PMOS 若為 AC 地參考且 $g_{mp}\gg g_{op}$，其電阻約為 $1/g_{mp}$：

$$ L\simeq\frac1{g_{mp}\omega_{Tn}}. $$

採右側低壓配置時，source follower 的近單位跟隨使 PMOS 的 gate/drain 小訊號近似短接，才可沿用相同電阻。這要求中間跟隨增益接近 1、內部極點高於使用頻帶；不能在任意頻率把複合回授支路當成理想電阻。

依圖上的 DC 節點電壓：

- 電阻回授的基本配置：$V_{DSn}=V_{GSn}$。
- 中間 PMOS 二極體配置：$V_{DSn}=V_{GSn}+V_{SGp}$。
- 右側低壓配置：$V_{DSn}=V_{SGp}$。

以上 PMOS 電壓使用正值 $V_{SGp}$，避免原圖 $V_{GSp}$ 的符號混用。

## 0247：差動半電路

左右匹配，tail 電流源對差模形成虛地；每邊的上管阻抗近似

$$ Z_h\simeq r_h+sL_h,\quad r_h=1/g_{m2},\quad L_h=R_{\rm tune}/\omega_{T2}. $$

兩個 output 之間量到的阻抗是 **$2Z_h$**。所以若圖右畫的是跨兩端的實體等效電感，其值為

$$ L_{\rm diff}=2L_h=\frac{2R_{\rm tune}}{\omega_{T2}}. $$

教材標 $L=R_{\rm tune}/\omega_{T2}$ 可當半電路電感，但不能同時把它當完整兩端差動電感，否則差一倍。

跨輸出的電容 $C$ 在半電路等效為 $2C$，因而

$$
a_{vd}(s)\simeq\frac{g_{m1}(r_h+sL_h)}
{1+2sCr_h+2s^2CL_h}.
$$

低頻 $|a_{vd}(0)|=g_{m1}/g_{m2}$，重現教材；無阻尼共振尺度則為
$\omega_0=1/\sqrt{2L_hC}$。峰化由二階分母及一個零點共同決定。

## 近似與驗算

| 近似 | 條件 | 失效情況 |
|---|---|---|
| $Z_o$ 忽略其他寄生 | $g_o,C_{GD},C_{DS}$、負載效應小 | 真實高頻 |
| $L_{\rm eff}\to R_S/\omega_T$ | $g_mR_S\gg1$ | $g_mR_S\le1$ 不呈此感性 |
| $1/(1+s/\omega_T)\to1$ | $\omega\ll\omega_T$ | 接近截止 |
| PMOS $\to1/g_{mp}$ | $g_{mp}r_{op}\gg1$，頻率遠低於其極點 | 電阻也變成頻率函數 |
| 差動半電路 | 左右匹配、純差模 | 共模、mismatch |

不用額外 SFG：從上一組二節點模型直接取極限即可。$L$ 的係數及差動阻抗因子在符號與數值檢查中分開驗證。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
|---|---:|---:|---|
| [0245](../../extraction/index.html#SANSEN-0245) | 72 | 73 | 72, 73 |
| [0246](../../extraction/index.html#SANSEN-0246) | 73 | 74 | 73 |
| [0247](../../extraction/index.html#SANSEN-0247) | 73 | 74 | 73 |


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# 共閘級的轉阻、輸入阻抗與有限偏壓電阻

對應：0249–0252、0269、0271。

## 電流方向與連線

gate 接 AC 地；drain 接 $R_L$，source 接注入訊號電流 $i_{\rm in}$ 及偏壓源輸出電阻 $R_B$。本節 $i_{\rm in}$ 定義為**注入 source 節點**，因此與 0271 的向下電流箭頭相反；比較有號結果時須反號。

令 $v_x$ 是 source 電壓，$G_L=1/R_L,\ G_B=1/R_B$，不含 body effect：

$$
(G_B+g_m+g_o)v_x-g_ov_o=i_{\rm in},
$$

$$
-(g_m+g_o)v_x+(G_L+g_o)v_o=0.
$$

## 直接解 KCL

令 $Q=1+g_mr_o$，乘開導納分母後：

$$
A_R=\frac{v_o}{i_{\rm in}}
=\frac{Q R_BR_L}{R_L+r_o+Q R_B},
$$

$$
R_{\rm in}=\frac{v_x}{i_{\rm in}}
=\frac{R_B(R_L+r_o)}{R_L+r_o+Q R_B}.
$$

流入負載的電流比為

$$ \frac{i_L}{i_{\rm in}}=\frac{A_R}{R_L}
=\frac{Q R_B}{R_L+r_o+Q R_B}. $$

受控源電流的大小比為 $g_mR_{\rm in}$。它可能大於 1，但真正輸送到負載的電流比仍由上一式決定；不可混淆受控源內部循環電流與外部負載電流。

## 漸近區域與教材 $R_{Lc}$

實際分母的轉折尺度為

$$ R_{\rm crit}=r_o+Q R_B. $$

若 $g_mr_o\gg1,\ g_mR_B\gg1$，則

$$ R_{\rm crit}\simeq R_{Lc}=g_mr_oR_B. $$

| 區域 | $A_R$ | $R_{\rm in}$ | 條件 |
|---|---|---|---|
| 小負載 | $\simeq R_L$ | $\simeq1/g_m$ | $R_L\ll r_o$ 且 $Q R_B\gg r_o$ |
| 中間 | $\simeq R_L$ | $\simeq R_L/(g_mr_o)$ | $r_o\ll R_L\ll Q R_B$ |
| 大負載 | $\to Q R_B$ | $\to R_B$ | $R_L\gg r_o+Q R_B$ |

大負載時，$i_L/i_{\rm in}\to0$，而內部受控源電流比趨近 $g_mR_B$，解釋 0251 圖的兩條不同曲線。

## 0271：理想輸出電流源負載

取 $R_L\to\infty$：

$$ v_x=R_Bi_{\rm in},\quad
v_o=(1+g_mr_o)v_x,\quad
A_R=(1+g_mr_o)R_B\simeq g_mr_oR_B.
$$

若採原圖向下的 $i_{\rm in}$，兩個電壓與 $A_R$ 都反號。教材的正值 $A_R$ 是大小。

## 輸出阻抗必須說明是否包含負載

將輸入訊號電流源開路、注入 drain 測試電流，放大器本體阻抗為

$$ R_{\rm out,amp}=r_o+(1+g_mr_o)R_B. $$

若量測端包含外接 $R_L$，則 $R_{\rm out,loaded}=R_{\rm out,amp}\parallel R_L$。0269 表中含 $R_L$ 卻列很大的 $R_{\rm out}$，是**排除外接負載的放大器本體值**；必須先講清楚埠定義。

$R_B\to\infty$ 而 $R_L$ 有限時：$A_R=R_L$，$R_{\rm in}=(R_L+r_o)/(1+g_mr_o)$。若 $R_B,R_L$ 都理想無限，注入非零 DC 小訊號電流沒有有限的靜態解；不能把表格的「—」當成 0。

不用 SFG：二節點矩陣與三個極限已完整解释圖形。符號程式驗證兩個阻抗、轉阻及端點極限。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
|---|---:|---:|---|
| [0249](../../extraction/index.html#SANSEN-0249) | 74 | 75 | 74 |
| [0250](../../extraction/index.html#SANSEN-0250) | 75 | 76 | 75 |
| [0251](../../extraction/index.html#SANSEN-0251) | 75 | 76 | 75, 76 |
| [0252](../../extraction/index.html#SANSEN-0252) | 76 | 77 | 76 |
| [0269](../../extraction/index.html#SANSEN-0269) | 85 | 86 | 85 |
| [0271](../../extraction/index.html#SANSEN-0271) | 86 | 87 | 86 |


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# 二管 cascode 的增益、输出電阻與 GBW

對應：0253–0255。

## 連線與精確低頻模型

M1 source 接地、gate 是輸入；M2 source 接 M1 drain（$x$）、gate AC 接地；M2 drain 為輸出。先不含 body effect、寄生電容，只保留輸出 $C_L$ 和負載 $G_L$。

令 $Q_2=g_{m2}+g_{o2}$，$D_x=g_{o1}+Q_2$：

$$
D_xv_x-g_{o2}v_o=-g_{m1}v_i,
$$

$$
-Q_2v_x+(g_{o2}+G_L+sC_L)v_o=0.
$$

由此得到

$$
a_v(s)=\frac{-g_{m1}Q_2}
{g_{o1}g_{o2}+D_xG_L+sD_xC_L}.
$$

先從兩埠關係讀出 Norton 參數：

$$
G_{\rm eff}=\frac{g_{m1}Q_2}{D_x},\qquad
R_{\rm casc}=\frac{D_x}{g_{o1}g_{o2}}
=r_{o1}+r_{o2}+g_{m2}r_{o1}r_{o2}.
$$

所以

$$
a_v=-\frac{G_{\rm eff}(R_{\rm casc}\parallel R_L)}
{1+s(R_{\rm casc}\parallel R_L)C_L}.
$$

## 逐步得到教材增益乘積

理想電流源負載時：

$$
a_v(0)=-g_{m1}r_{o1}(1+g_{m2}r_{o2})
\simeq-(g_{m1}r_{o1})(g_{m2}r_{o2}).
$$

注意精確 $a_v$ 並不等於 $-g_{m1}R_{\rm casc}$，因為 $G_{\rm eff}$ 比 $g_{m1}$ 略小。只有 $Q_2\gg g_{o1}$ 才可令 $G_{\rm eff}\simeq g_{m1}$。

$$
R_{\rm casc}\simeq g_{m2}r_{o1}r_{o2}
$$

要求 $g_{m2}r_{o1}\gg1$ 且 $g_{m2}r_{o2}\gg1$，才能同時忽略兩個獨立的 $r_o$。

## 頻寬與圖形結論

$$
BW=\frac1{2\pi(R_{\rm casc}\parallel R_L)C_L},\qquad
GBW=\frac{G_{\rm eff}}{2\pi C_L}
\simeq\frac{g_{m1}}{2\pi C_L}.
$$

與單管相比，cascode 提高低頻增益，同時降低輸出主極點；在上述近似下兩條高頻漸近線重合。這不是「所有頻率的實際交越與相位相同」，因為中間節點寄生尚未加入。

小負載 $R_L\ll r_{o1},R_{\rm casc}$ 時，兩者增益都約 $g_{m1}R_L$，輸出極點約 $1/(R_LC_L)$。因此並非任何負載下加 cascode 都能提高增益。

## 近似與方法

| 近似 | 條件 | 失效情況 |
|---|---|---|
| $G_{\rm eff}\to g_{m1}$ | $g_{o1}\ll g_{m2}+g_{o2}$ | 上管跨導小 |
| $1+g_{m2}r_{o2}\to g_{m2}r_{o2}$ | $g_{m2}r_{o2}\gg1$ | 短通道低增益 |
| 兩管阻抗只保留乘積 | 兩個 $g_{m2}r_o\gg1$ | 器件尺寸或電流差太大 |
| 單輸出極點 | 中間節點極點高於關注頻帶 | 下一組的寄生情況 |

不用 SFG：兩個節點的 KCL 足夠，且本組的物理機制是 Norton 輸出阻抗的增加。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
|---|---:|---:|---|
| [0253](../../extraction/index.html#SANSEN-0253) | 76 | 77 | 76, 77 |
| [0254](../../extraction/index.html#SANSEN-0254) | 77 | 78 | 77 |
| [0255](../../extraction/index.html#SANSEN-0255) | 77 | 78 | 77 |


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# Cascode 中的 Miller 效應與訊號源阻抗

對應：0256。原圖的 $C_M$ 跨接輸入 gate 與中間節點；不是接地電容。

## 完整三節點矩陣

節點為 gate $v_g$、中間 $v_x$、輸出 $v_o$。令
$G_S=1/R_S$、$Q_2=g_{m2}+g_{o2}$、$D_x=g_{o1}+Q_2$。理想輸出電流源負載，只保留 $C_M,C_L$：

$$
\begin{bmatrix}
G_S+sC_M&-sC_M&0\\
g_{m1}-sC_M&D_x+sC_M&-g_{o2}\\
0&-Q_2&g_{o2}+sC_L
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}v_g\\v_x\\v_o\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}G_Sv_i\\0\\0\end{bmatrix}.
$$

直接求解：

$$
a_v=\frac{Q_2(sC_M-g_{m1})}{d_0+d_1s+d_2s^2},
$$

$$ d_0=g_{o1}g_{o2}, $$

$$ d_1=C_LD_x+C_Mg_{o2}[1+R_S(g_{o1}+g_{m1})], $$

$$ d_2=C_MC_L[1+R_S(D_x+g_{m1})]. $$

雖然有三個節點，只有兩個独立電容狀態，分母仍為二階。零點為 $+g_{m1}/C_M$；圖中沒有畫出不表示它不存在。

## 為何 cascode 仍可能有 Miller 放大

低頻、理想輸出電流源負載使

$$ v_x/v_g=-g_{m1}r_{o1}. $$

因此輸入所見 $C_M$ 仍可能被 $1+g_{m1}r_{o1}$ 放大。不能把「cascode」當成 Miller 效應永遠為零的保證。

在 $g_{m2}\gg g_{o1},g_{o2}$、$g_{m1}\gg g_{o1}$ 且 $g_{m1}R_S\gg1$ 時，
$d_1$ 主要兩項為

$$ C_Lg_{m2}\quad\text{與}\quad R_SC_Mg_{o2}g_{m1}. $$

令兩者相等得到

$$ R_{St}\simeq r_{o2}\frac{C_L}{C_M}\frac{g_{m2}}{g_{m1}}. $$

所以原圖的「No Miller if $R_S<R_{St}$」應解讀為**Miller 輸入時間常數不主導**，不是電容的回授與前饋作用消失。

## 兩側主極點

若根分離 $d_1^2\gg4d_0d_2$：

$$ \omega_d\simeq d_0/d_1,\qquad \omega_{nd}\simeq d_1/d_2. $$

輸出主導時：

$$ \omega_d\simeq1/(g_{m2}r_{o1}r_{o2}C_L). $$

Miller 主導時：

$$ \omega_d\simeq1/(g_{m1}r_{o1}R_SC_M). $$

次極點須由 $d_1/d_2$ 求。教材的 $1/(R_SC_M)$、$1/(r_{o2}C_L)$ 是比例尺度線；在 $g_{m1}\sim g_{m2}$ 時可能有接近 2 的係數差，不能把圖的折線位置視為精確根。

## 近似與方法

- $d_1$ 省項的条件分別為 $g_{m2}\gg g_{o1}+g_{o2}$、$R_Sg_{m1}\gg1+R_Sg_{o1}$。
- 轉折附近兩項都要保留；若根不分離，直接求二次根。
- 若關注頻率接近 $g_{m1}/C_M$，必須保留 RHP 零點。
- 不另畫 SFG：回授／前饋與 03 組同源，此處用實際三節點矩陣保留 cascode 的輸出耦合即可。

符號程式檢查三階矩陣行列式化成上述二階多項式，並驗證 DC 與 $C_M\to0$ 極限。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
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| [0256](../../extraction/index.html#SANSEN-0256) | 78 | 79 | 78 |


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# Cascode 中間節點對地電容

對應：0257。小寫 $C_m$ 從中間節點接地，與上一組跨接的 $C_M$ 不同。

## 節點方程與完整式

沿用 $Q_2=g_{m2}+g_{o2}$、$D_x=g_{o1}+Q_2$，輸入 gate 理想驅動：

$$
(D_x+sC_m)v_x-g_{o2}v_o=-g_{m1}v_i,
$$

$$ -Q_2v_x+(g_{o2}+sC_L)v_o=0. $$

因此

$$
a_v(s)=\frac{-g_{m1}Q_2}
{g_{o1}g_{o2}+s(C_LD_x+C_mg_{o2})+s^2C_mC_L}.
$$

此簡化模型没有有限零點。兩個極點由分母直接求根。

## 教材的轉折電容從何而來

以 $D_x\simeq g_{m2}$，線性係數兩項相等：

$$ C_Lg_{m2}=C_mg_{o2}
\Rightarrow C_{mt}\simeq g_{m2}r_{o2}C_L=A_{v2}C_L. $$

根分離時：

| 區域 | 主極點 $\omega_d$ | 次極點 $\omega_{nd}$ |
|---|---|---|
| $C_m\ll C_{mt}$ | $1/(g_{m2}r_{o1}r_{o2}C_L)$ | $g_{m2}/C_m$ |
| $C_m\gg C_{mt}$ | $1/(r_{o1}C_m)$ | $1/(r_{o2}C_L)$ |

這重現原圖的兩條折線及轉折方向。

## 必要近似

1. $D_x\to g_{m2}$ 要求 $g_{m2}\gg g_{o1}+g_{o2}$。
2. 只保留線性係數中的較大項，要求電容比遠離 $C_{mt}$；「大於」但接近不能當成「遠大於」。
3. 用主／次極點乘積分解，須滿足
$(C_LD_x+C_mg_{o2})^2\gg4g_{o1}g_{o2}C_mC_L$。
4. 宣稱 GBW 仍為 $g_{m1}/(2\pi C_L)$，須輸出主導且次極點高於交越。僅說 $C_m$ 很小仍不充分。

不用 SFG：兩個對地電容的矩陣最直觀。相較上組，沒有 $C_M$ 前饋支路，正好說明同名近似電容不能混用。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
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| [0257](../../extraction/index.html#SANSEN-0257) | 78 | 79 | 78, 79 |


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# Telescopic 與 folded cascode

對應：0258–0259。

## 0258：上下兩個 cascode 阻抗並聯

下方 NMOS 堆疊的阻抗

$$ R_N=r_{o1}+r_{o2}+(g_{m2}+g_{mb2})r_{o1}r_{o2}. $$

上方 PMOS 堆疊同理為 $R_P$（使用相應器件參數及正值跨導）。輸出看到

$$ R_{\rm out}=R_N\parallel R_P. $$

只有 $R_N=R_P$ 才有 $R_{\rm out}=R_N/2$；再忽略 body effect 與獨立 $r_o$ 項，才到教材

$$ R_{\rm out}\simeq\tfrac12g_{m2}r_{o1}r_{o2}. $$

输入電流傳遞跨導 $G_{\rm eff}$ 由 13 組求出，通常近似 $g_{m1}$：

$$
a_v\simeq-\frac{g_{m1}R_{\rm out}}{1+sR_{\rm out}C_L},\quad
BW=\frac1{2\pi R_{\rm out}C_L},\quad
GBW\simeq\frac{g_{m1}}{2\pi C_L}.
$$

理想 long-channel 飽和要求的輸出範圍：

$$
V_{OV1}+V_{OV2}\lesssim V_O
\lesssim V_{DD}-V_{OV3}-V_{OV4}.
$$

每管 $V_{OV}\simeq0.2$ V 時，可用範圍約 $V_{DD}-0.8$ V。這是給定偏壓的 headroom 估計，不是跨製程常數。

## 0259：折疊電流路徑

M1 汲極接節點 $x$；上方電流源提供 $I_{B1}$；PMOS M2 從 $x$ 把電流送往輸出，輸出另由 $I_{B2}$ 吸走偏壓。

$$ I_{D1}+I_{D2}=I_{B1},\quad I_{D2}=I_{B2}
\Rightarrow I_{D1}=I_{B1}-I_{B2}. $$

若選 $I_{B1}=2I_{B2}$，兩管電流相同；$I_{B1}/2$ 是設計選擇，不是拓撲必然。

有限偏壓源下，$x$ 點原始阻抗

$$ R_x=r_{o1}\parallel r_{B1}. $$

從 M2 drain 看入的 cascode 支路

$$ R_{\rm branch}=r_{o2}+[1+(g_{m2}+g_{mb2})r_{o2}]R_x. $$

輸出還要與下方電流源阻抗並聯：

$$ R_{\rm out}=R_{\rm branch}\parallel r_{B2}. $$

理想 $r_{B1},r_{B2}\to\infty$、$g_{mb2}=0$、高 intrinsic gain 時，才得到原圖
$R_{\rm out}\simeq g_{m2}r_{o1}r_{o2}$。

輸入變大會讓 M1 多吸電流，使供到輸出的 PMOS 電流變少，故本圖電壓增益仍反相。把输入電流有效傳遞率近似為 1 後：

$$
a_v\simeq-\frac{g_{m1}R_{\rm out}}{1+sR_{\rm out}C_L},\qquad
GBW\simeq\frac{g_{m1}}{2\pi C_L}.
$$

## 比較條件

- 同輸入管電流時，等電流分配的 folded 支路要求供電電流約兩倍；不是任意 sizing 下都精確两倍。
- 原書說 folded 與 telescopic 擺幅相近，還依賴偏壓源用幾顆管實作，不能由兩個理想電流源圖唯一決定。
- 忽略 body effect、有限偏壓源阻抗、內部電容，均需分別驗證。
- 不用 SFG：逐支路計阻抗及電流守恆已清楚呈現折疊的意義。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
|---|---:|---:|---|
| [0258](../../extraction/index.html#SANSEN-0258) | 79 | 80 | 79 |
| [0259](../../extraction/index.html#SANSEN-0259) | 80 | 81 | 79, 80 |


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# Cascode 與兩級 cascade：為何 GBW 的電容不同

對應：0260–0261。

## 沒有補償的兩級串接

每級都是反相共源級，忽略級間 DC／AC 負載而保留各自對地電容：

$$
a_v(s)=\frac{g_{m1}r_{o1}g_{m2}r_{o2}}
{(1+sr_{o1}C_1)(1+sr_{o2}C_L)}.
$$

DC 增益大小等於兩個 intrinsic gain 的乘積，與 cascode 的近似大小相同；但有兩個高阻抗節點、兩個極點，且兩次反相使輸出相位不同。

## 0261：跨第二級加入 $C_c$

第一級輸出為 $v_x$，第二級輸出為 $v_o$。$C_c$ 跨接兩者：

$$
[g_{o1}+s(C_1+C_c)]v_x-sC_cv_o=-g_{m1}v_i,
$$

$$
(g_{m2}-sC_c)v_x+[g_{o2}+s(C_L+C_c)]v_o=0.
$$

由行列式：

$$
a_v(s)=\frac{g_{m1}(g_{m2}-sC_c)}{d_0+d_1s+d_2s^2},
$$

$$ d_0=g_{o1}g_{o2}, $$

$$ d_1=g_{o1}(C_L+C_c)+g_{o2}(C_1+C_c)+g_{m2}C_c, $$

$$ d_2=C_1C_L+C_1C_c+C_cC_L. $$

若 $g_{m2}C_c$ 主導 $d_1$，且根分離：

$$
\omega_d\simeq\frac{g_{o1}g_{o2}}{g_{m2}C_c},\quad
A_0=g_{m1}r_{o1}g_{m2}r_{o2},
$$

$$ GBW=A_0\omega_d/(2\pi)\simeq\frac{g_{m1}}{2\pi C_c}. $$

這一步清楚顯示：cascade 的增益由兩個高阻抗節點累積，Miller 補償則把主極點拉低，最後留下 $C_c$。Cascode 的輸出單極點結果則留下 $C_L$。

## 不能省掉的第二極點與零點

$$
\omega_{nd}\simeq\frac{g_{m2}C_c}{C_1C_L+C_1C_c+C_cC_L},
\qquad s_z=+\frac{g_{m2}}{C_c}.
$$

若 $C_1\ll C_c$、$C_1\ll C_L$，可進一步得 $\omega_{nd}\simeq g_{m2}/C_L$。
但要把 $g_{m1}/(2\pi C_c)$ 當作實際交越，還须交越低於這個次極點及 RHP 零點。

## 近似順序

| 原式 → 簡式 | 成立條件 | 失效時 |
|---|---|---|
| 每級 DC 增益乘積 | 後級 gate 不負載前級，兩管工作點有效 | 偏壓不相容、器件進 triode |
| $d_1\to g_{m2}C_c$ | 其他兩項相對小 | 負載太大或第二級跨導不足 |
| $\omega_d=d_0/d_1$ | $d_1^2\gg4d_0d_2$ | 用二次根 |
| $\omega_{nd}\to g_{m2}/C_L$ | $C_cC_L$ 主導 $d_2$ | $C_1$ 不小 |
| GBW 近似交越 | 其他極點及零點遠離交越 | 補償電容本身不保證足夠相位裕度 |

不用額外 SFG：Miller 前饋已由 03 組解釋，此處矩陣把兩個高阻抗節點保留得更直接。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
|---|---:|---:|---|
| [0260](../../extraction/index.html#SANSEN-0260) | 80 | 81 | 80 |
| [0261](../../extraction/index.html#SANSEN-0261) | 81 | 82 | 80, 81 |


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# Regulated cascode 與 gain boosting 的動態模型

對應：0262–0264。

## 連線與負號

M1 source 接地，M2 source 接中間節點 $x$。輔助放大器的正端接 AC 地參考，負端接 $x$，輸出驅動 M2 gate：

$$ v_a=-B(s)v_x. $$

因此 $x$ 上升會使 M2 gate 下降，是此局部迴路的負回授。先忽略 body effect 與中間節點電容，保留 M1、M2 的 $g_o$ 和輸出 $C_L$。

定義 $Q=g_{m2}+g_{o2}$、$D_x=g_{o1}+Q$，KCL：

$$
D_xv_x-g_{o2}v_o-g_{m2}v_a=-g_{m1}v_i,
$$

$$
(g_{o2}+sC_L)v_o-Qv_x+g_{m2}v_a=0.
$$

代入 $v_a=-Bv_x$，得到

$$
a_v(s)=
\frac{-g_{m1}[g_{o2}+g_{m2}(1+B)]}
{g_{o1}g_{o2}+sC_L[g_{o1}+g_{o2}+g_{m2}(1+B)]}.
$$

此式在 $B$ 是任意已指定的傳輸函數時成立，但仍不包含輔助放大器輸出阻抗及額外寄生。

## DC 增益增加的每一步

輸入置零的 drain 測試給

$$
R_{\rm out}=r_{o1}+r_{o2}+g_{m2}r_{o1}r_{o2}(1+B_0).
$$

DC 電壓增益：

$$
a_v(0)=-g_{m1}r_{o1}[1+g_{m2}r_{o2}(1+B_0)].
$$

依序省去兩個 1，才得到教材：

$$
A_0\simeq B_0(g_{m1}r_{o1})(g_{m2}r_{o2}).
$$

0262 若用一個 M3 共源級作輔助放大器，理想偏壓源負載下
$B_0\simeq g_{m3}r_{o3}$，便出現三個 intrinsic gain 的乘積。

中間節點阻抗的敘述須指定輸出終端。輸出被固定在 AC 地時，
$Z_x=1/[D_x+g_{m2}B_0]$，確實降低。若輸出在 DC 完全開路且只有理想電流源，輸入 $x$ 的電流最終仍經 $r_{o1}$ 流走，$Z_x=r_{o1}$。不能省略終端條件而把「中點阻抗降低」當成所有情況的定律。

## 保留輔助放大器的一個極點

取

$$ B(s)=\frac{B_0}{1+s/\omega_b}. $$

乘掉公共分母後：

$$
a_v=
\frac{-g_{m1}[Q(1+s/\omega_b)+g_{m2}B_0]}
{g_{o1}g_{o2}(1+s/\omega_b)
+sC_L[D_x(1+s/\omega_b)+g_{m2}B_0]}.
$$

分母係數：

$$
d_0=g_{o1}g_{o2},\quad
d_1=\frac{g_{o1}g_{o2}}{\omega_b}+C_L(D_x+g_{m2}B_0),\quad
d_2=\frac{C_LD_x}{\omega_b}.
$$

輔助放大器引入的零點為

$$
s_z=-\omega_b\left(1+\frac{g_{m2}B_0}{Q}\right)
\simeq-(1+B_0)\omega_b.
$$

它在左半平面，不能與 Miller RHP 零點混淆。两個極點由 $d_0+d_1s+d_2s^2=0$ 求。

## 0264 的頻寬對齊不是通用等式

將此零點代入完整分母，精確相消要求

$$
\omega_b\left(1+\frac{g_{m2}B_0}{Q}\right)=\frac{g_{o2}}{C_L}.
$$

右側是 $1/(r_{o2}C_L)$，不是未增益提升 cascode 的主極點
$g_{o1}g_{o2}/(D_xC_L)$。

所以原文「輔助 GBW 必須恰好等於原 cascode BW」不能由本頁的單極點 $B(s)$ 模型普遍推出。它屬特定設計圖的簡化說明，完整設計仍須指定所有內部極點、檢查迴路穩定性和 step response。本輪不把這句話標成已證明的設計準則。

## 最小可解釋 SFG

保留 $v_i,v_x,v_a,v_o$ 四個節點；$v_a$ 不能消掉，否則看不到輔助放大器的負回授與自身極點：

$$
v_x=-\frac{g_{m1}}{D_x}v_i+\frac{g_{o2}}{D_x}v_o+\frac{g_{m2}}{D_x}v_a,
$$

$$
v_a=-B(s)v_x,\qquad
v_o=\frac{Q}{g_{o2}+sC_L}v_x-\frac{g_{m2}}{g_{o2}+sC_L}v_a.
$$

![Gain boosting SFG](assets/gainboost-sfg.svg)

[查看 SFG 的 DOT 連線文字](assets/gainboost-sfg.dot)

三條關係的聯立解與 KCL 結果一致，並保留 M2 受 $x$ 與 gate 控制的兩條路徑。沒有額外器件電流節點。

## 必要近似

- $B_0\gg1$ 才可把 $1+B_0$ 換成 $B_0$。
- $g_{m2}r_{o2}(1+B_0)\gg1$ 才可省去 DC 增益最外層的 1。
- 用單管 M3 的 $g_mr_o$ 代表 $B_0$，須忽略其負載並保留有效 bias。
- 「GBW 不變」要求主電路交越附近仍由輸入有效跨導與 $C_L$ 支配，輔助迴路沒有新共振或額外高頻限制。
- 一個極點的 $B(s)$ 是指定模型，不是所有輔助運放的精確描述。

符號檢查驗證 DC 阻抗、SFG、二階式及極零相消条件。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
|---|---:|---:|---|
| [0262](../../extraction/index.html#SANSEN-0262) | 81 | 82 | 81 |
| [0263](../../extraction/index.html#SANSEN-0263) | 82 | 83 | 82 |
| [0264](../../extraction/index.html#SANSEN-0264) | 82 | 83 | 82 |


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# 極零雙重項與 settling：必須保留殘值和初始條件

對應：0265。

## 沒有 doublet 的單位增益閉迴路

若主迴路可近似開迴路積分器 $A(s)=\omega_u/s$，單位負回授：

$$
H(s)=\frac{A}{1+A}=\frac{\omega_u}{s+\omega_u}.
$$

單位階躍的輸出與誤差：

$$
y(t)=1-e^{-\omega_ut},\quad e(t)=e^{-\omega_ut}.
$$

$$
\tau_u=\frac1{\omega_u}=\frac1{2\pi GBW},\qquad
t_\epsilon=\tau_u\ln(1/\epsilon).
$$

$\epsilon=0.001$ 時 $t_{0.1\%}=6.90776\tau_u$，直接重現正文。

## 指定帶 doublet 的開迴路模型

為了使結論可重現，而不是只從 Bode 圖猜時間式，明定

$$
A(s)=\frac{\omega_u}{s}\frac{s+z}{s+p},\quad p,z>0.
$$

高頻仍有相同的 $\omega_u/s$ 漸近線。閉迴路：

$$
H(s)=\frac{\omega_u(s+z)}
{s^2+(p+\omega_u)s+\omega_uz}.
$$

若二次分母有兩個實根，寫成 $(s+\lambda_f)(s+\lambda_s)$，其中

$$
\lambda_{f,s}=\frac{p+\omega_u\pm
\sqrt{(p+\omega_u)^2-4\omega_uz}}2.
$$

階躍誤差的 Laplace 式：

$$
E(s)=\frac{1-H(s)}s
=\frac{s+p}{(s+\lambda_f)(s+\lambda_s)}.
$$

部分分式係數：

$$
A_s=\frac{p-\lambda_s}{\lambda_f-\lambda_s},\qquad
A_f=\frac{\lambda_f-p}{\lambda_f-\lambda_s},\qquad A_f+A_s=1.
$$

所以模型內精確的 step response 是

$$ y(t)=1-A_fe^{-\lambda_ft}-A_se^{-\lambda_st}. $$

這在 $t=0$ 精確為 0，且 $t\to\infty$ 為 1。

## 如何得到教材的小殘值慢尾巴

若 $p,z\ll\omega_u$，並且 $p,z$ 接近：

$$
\lambda_f\simeq\omega_u+p-z,\quad \lambda_s\simeq z,\quad
A_s\simeq\frac{p-z}{\omega_u}.
$$

定義**有號** $\Delta f=(p-z)/(2\pi)$，可得

$$
y(t)\simeq
1-(1-\delta)e^{-t/\tau_u}-\delta e^{-t/\tau_{pz}},
\quad
\delta=\frac{\Delta f}{GBW},\quad \tau_{pz}\simeq1/z.
$$

教材把快項係數再近似成 1，成為
$1-e^{-t/\tau_u}-\delta e^{-t/\tau_{pz}}$。
這一式在 $t=0$ 會給 $-\delta$，所以只能作小殘值／晚時間近似，不能當完整階躍精確解。

**尾巴符號不是固定的。** 在此明定模型中，$p>z$ 時 $A_s>0$，輸出從下方慢慢靠近終值；$p<z$ 時可從上方靠近。原圖若只標雙重項「寬度」而不定義 $p,z$ 的先後，不足以唯一決定時間曲線。

## Settling 為何變慢

在快項衰減後，若 $|A_s|>\epsilon$：

$$
t_\epsilon\simeq\frac1{\lambda_s}
\ln\frac{|A_s|}{\epsilon}.
$$

更保守的充分條件是分別要求

$$
|A_f|e^{-\lambda_ft}\le\epsilon/2,\quad
|A_s|e^{-\lambda_st}\le\epsilon/2.
$$

如果 $|A_s|\le\epsilon$，則慢尾巴從一開始就小於誤差容限，不必機械地宣稱所有 doublet 都會毀掉 settling。

## 必要近似與數值圖

| 步驟 | 條件 | 失效情況 |
|---|---|---|
| 開迴路 $\omega_u/s$ | 穿越附近由主極點控制 | 多極點、前饋 |
| 兩個實指數 | 判別式非負且極點穩定 | 複數根須改用阻尼振盪 |
| $\lambda_s\simeq z$ | $p,z\ll\omega_u$ | doublet 靠近交越 |
| $A_s\simeq(p-z)/\omega_u$ | 小間距、低頻 doublet | 大間距 |
| 只保留慢尾巴 | 快項已小且 $|A_s|>\epsilon$ | 短時間與寬容限 |

![Settling 誤差比較](assets/settling-comparison.svg)

不用 SFG：本節要解釋的是極點殘值與時間響應，部分分式比增添圖節點直接。程式檢查初值、終值、部分分式以及 0.1% settling。

例圖參數：$\omega_u/(2\pi)=1$ MHz、$p/(2\pi)=12$ kHz、$z/(2\pi)=2$ kHz。精確慢速殘值約 $0.00994$；此例達到 $0.1\%$ 誤差約需 $184.7$ µs，沒有 doublet 的單極點模型約需 $1.10$ µs。數值依上述模型計算。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
|---|---:|---:|---|
| [0265](../../extraction/index.html#SANSEN-0265) | 83 | 84 | 83 |


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# 全章埠參數總表：端接、有限 beta 與適用極限

對應：0266–0270；0269 的完整 MOS 共閘推導見 12 組。表中的 $R_{\rm out,amp}$ 排除外加負載；含負載時還要並聯該負載。

## 0266–0267：MOS 四種基本用法

在低頻、bulk 跟 source 相連、忽略 gate 漏電下：

| 配置 | 完整模型或前節引用 | 教材極限 |
|---|---|---|
| 共源，source 接地 | $G_m=g_m,\ R_{\rm in}=\infty,\ R_{\rm out}=r_o$ | 同左 |
| 共源，source 接 $R_B$ | $G_m=g_m/[1+(g_m+g_o)R_B]$ | $1/R_B$，須 $g_mR_B\gg1,g_o\ll g_m$ |
| 同上輸出阻抗 | $r_o+(1+g_mr_o)R_B$ | $g_mr_oR_B$，須可省兩個獨立阻抗項 |
| source follower，理想偏壓源 | $a_v=g_m/(g_m+g_o)$ | $1$，須 $g_mr_o\gg1$ |
| follower，source 負載 $R_B$ | $a_v=g_m/(g_m+g_o+1/R_B)$ | $1$，另須 $g_mR_B\gg1$ |
| follower 輸出阻抗 | $1/(g_m+g_o)$，有偏壓電阻則再並聯 | $1/g_m$ |

電壓 follower 的 $\infty$ 輸入電阻只限 DC／低頻 gate 無電流模型；高頻已有 09 組的電容電流。

## 0268：BJT 增加 base 電阻與輸入電流

定義 intrinsic $r_\pi=\beta/g_m$、base spreading $r_b$。

若忽略 $r_o$，emitter 負載為 $R_E$：

$$
R_{\rm in}=r_b+r_\pi+(\beta+1)R_E,
$$

$$
G_{m,\rm ext}=
\frac{\beta}{r_b+r_\pi+(\beta+1)R_E}.
$$

$R_E=0$ 且 $r_b\ll r_\pi$ 時 $G_{m,\rm ext}\simeq g_m$。
強退化時 $G_{m,\rm ext}\simeq1/R_E$ 还要求 $\beta\gg1$。

對輸入置零的輸出阻抗，令 base 到外部 AC 地的電阻為 $R_b$（可含訊號源電阻及 $r_b$），且

$$
R_* = R_E\parallel(r_\pi+R_b),\qquad
g_* = g_m\frac{r_\pi}{r_\pi+R_b}.
$$

由 emitter KCL $v_e=i_tR_*$ 和 collector 電流式可得

$$ R_{\rm out,amp}=r_o+(1+g_*r_o)R_*. $$

所以教材 $g_mr_oR_E$ 還隱含 $R_E\ll r_\pi+R_b$、$R_b\ll r_\pi$。如果 emitter 偏壓源理想，$R_E\to\infty$，输出阻抗飽和至約 $\beta r_o$，不會像 MOS 那樣無界增加。

Follower 的精確低頻輸出阻抗（忽略 $r_o$）為

$$
R_{\rm out}=\frac{R_S+r_b+r_\pi}{\beta+1},
$$

可按 08 組再化成 $1/g_m+(R_S+r_b)/\beta$。
看入 base 的負載應包含 emitter 的 $r_o$ 或偏壓源阻抗，再乘 $\beta+1$；這解釋 0268 表中的 $\beta r_o$ 項。

## 0270：BJT 共基級

base 接 AC 地，先取 $r_b=0$。source 名稱改為 emitter。其節點方程：

$$
(G_B+g_\pi+g_m+g_o)v_e-g_ov_o=i_{\rm in},
$$

$$
-(g_m+g_o)v_e+(G_L+g_o)v_o=0.
$$

因此 12 組的 MOS 式可用

$$ R_B^*=R_B\parallel r_\pi $$

取代 $R_B$，得到

$$
A_R=\frac{(1+g_mr_o)R_B^*R_L}
{R_L+r_o+(1+g_mr_o)R_B^*},
$$

$$
R_{\rm in}=\frac{R_B^*(R_L+r_o)}
{R_L+r_o+(1+g_mr_o)R_B^*}.
$$

有限 $r_b$ 時則用 $R_B^*=R_B\parallel(r_\pi+r_b)$，並把 $g_m$ 換成
$g_mr_\pi/(r_\pi+r_b)$。這是由 base 支路分壓取得，不是直接把 $\beta$ 塞進公式。

### 三個重要極限

1. $R_L$ 小、$R_B^*$ 足夠大：$R_{\rm in}\simeq1/g_m$，$A_R\simeq R_L$，誤差包含 $1/\beta$。
2. $R_L\to\infty$、有限 $R_B$：$R_{\rm in}\to R_B^*$，$A_R\to(1+g_mr_o)R_B^*$。
3. $R_B,R_L\to\infty$，但 finite beta：$R_{\rm in}\to r_\pi$，$A_R\to(1+g_mr_o)r_\pi\simeq\beta r_o$。與 MOS 的無有限靜態解不同，BJT 有 base 電流路徑。原表「—」不可解讀成轉阻為 0。

## 方法與核對

不用 SFG：這是前面模型的端接極限總結。每次求 $R_{\rm out}$ 都先把獨立電壓輸入短路、獨立電流輸入開路，並保留其內阻。用這套定義才能一致閱讀 0267–0270 的表格。


## 來源對照

| 投影片 | PDF 頁 | 書本頁 | 講解所在 PDF 頁 |
|---|---:|---:|---|
| [0266](../../extraction/index.html#SANSEN-0266) | 83 | 84 | 83 |
| [0267](../../extraction/index.html#SANSEN-0267) | 84 | 85 | 84 |
| [0268](../../extraction/index.html#SANSEN-0268) | 84 | 85 | 84 |
| [0270](../../extraction/index.html#SANSEN-0270) | 85 | 86 | 85 |