# 增益增强的 Physical / Causal SFG

## A. 选取的 SFG 节点及选择理由

本图对应本项目已运行的 gainboost_slow / gainboost_fast Spectre 等效电路：M1 源极接地，M2 源极为 vx、栅极为 va、漏极为 vo，输出接 CL。忽略体效应、中间节点电容和其余寄生，保留有限 ro1、ro2。辅助级由理想反相 VCVS、串联 RA 和输出对地 CA 构成；VA0 是受控源输出，va 是 RC 节点。BA 是这个独立受控源的常数增益参数，不是整体传递函数，不以未知内部 MOS 拓扑代替该受控源。im1、io1 从 vx 流向地；im2、io2 从 vo 流向 vx；iL 从 vo 流向地；iRA 从 va0 经 RA 流向 va，iCA 从 va 流向地。

所有量为工作点附近的小信号，电容采用零初始条件的拉普拉斯关系。按局部器件关系选择因果方向，不预先求整体传递函数，也不消元为最少节点图。

| 节点 | 类型 | 选择理由 |
|---|---|---|
| $v_i$（`vi`） | 电压 / V | 独立输入电压。 |
| $i_{m1}$（`im1`） | 电流 / A | 输入管 M1 的跨导电流。 |
| $i_{o1}$（`io1`） | 电流 / A | M1 输出电阻 ro1 的电流。 |
| $v_x$（`vx`） | 电压 / V | 真实中间节点，辅助级的采样电压。 |
| $v_{a0}$（`va0`） | 电压 / V | 已有网表中理想 VCVS 的输出，保留受控源自身的电压因果方向。 |
| $i_{CA}$（`iCA`） | 电流 / A | 辅助级电容电流。 |
| $i_{RA}$（`iRA`） | 电流 / A | 辅助级串联电阻电流，由输出节点 KCL 决定。 |
| $v_a$（`va`） | 电压 / V | 辅助级 RC 节点，驱动 M2 栅极。 |
| $v_{gs2}$（`vgs2`） | 电压 / V | M2 栅源端电压。 |
| $i_{m2}$（`im2`） | 电流 / A | M2 从输出注入中间节点的跨导电流。 |
| $i_L$（`iL`） | 电流 / A | 输出负载电容电流。 |
| $i_{o2}$（`io2`） | 电流 / A | ro2 支路电流，由输出 KCL 决定。 |
| $v_{R2}$（`vR2`） | 电压 / V | ro2 从漏极到源极的压降。 |
| $v_o$（`vo`） | 电压 / V | 真实输出节点电压。 |
| $v_{RA}$（`vRA`） | 电压 / V | 辅助级串联 RA 的压降，显式保留 i → v。 |

## B. 独立约束

每行是一个独立局部约束，整理为 $y=\sum_k a_kx_k$。右侧的每一项生成一条边；一行分成多条边不等于重复使用约束。

| 约束 | 物理来源 | 定向方程 |
|---|---|---|
| G1 | M1 跨导源的本构关系 | $i_{m1} = g_{m1} v_i$ |
| G2 | M2 栅源端电压定义（KVL） | $v_{gs2} = v_a - v_x$ |
| G3 | M2 跨导源的本构关系 | $i_{m2} = g_{m2} v_{gs2}$ |
| G4 | CL 的本构关系 | $i_L = s C_L v_o$ |
| G5 | 输出节点 KCL | $i_{o2} = - i_{m2} - i_L$ |
| G6 | ro2 的本构关系 | $v_{R2} = r_{o2} i_{o2}$ |
| G7 | M2 漏源支路 KVL | $v_o = v_x + v_{R2}$ |
| G8 | 中间节点 vx 的 KCL | $i_{o1} = i_{m2} + i_{o2} - i_{m1}$ |
| G9 | ro1 的本构关系 | $v_x = r_{o1} i_{o1}$ |
| G10 | 理想 VCVS 的本构关系 | $v_{a0} = - B_A v_x$ |
| G11 | CA 的本构关系 | $i_{CA} = s C_A v_a$ |
| G12 | 辅助级 RC 输出节点 KCL | $i_{RA} = i_{CA}$ |
| G13 | RA 的本构关系 | $v_{RA} = R_A i_{RA}$ |
| G14 | 辅助级串联支路 KVL | $v_a = v_{a0} - v_{RA}$ |

电阻只使用 $v=Ri$ 这一方向，不再同时添加 $i=v/R$；同一电容的支路电流可以出现在两端节点的 KCL 中，但其本构关系只建一次。
本图保留有限输出电阻以采用“电流 → 电压”的电阻方向。若另取输出电导严格为零的理想模型，应重新分配约束方向，不能直接在图上使用无穷大的电阻。

## C. SFG edge list

```text
E01: vi --(gm1)--> im1    [G1]
E02: va --(1)--> vgs2    [G2]
E03: vx --(-1)--> vgs2    [G2]
E04: vgs2 --(gm2)--> im2    [G3]
E05: vo --(s*CL)--> iL    [G4]
E06: im2 --(-1)--> io2    [G5]
E07: iL --(-1)--> io2    [G5]
E08: io2 --(ro2)--> vR2    [G6]
E09: vx --(1)--> vo    [G7]
E10: vR2 --(1)--> vo    [G7]
E11: im2 --(1)--> io1    [G8]
E12: io2 --(1)--> io1    [G8]
E13: im1 --(-1)--> io1    [G8]
E14: io1 --(ro1)--> vx    [G9]
E15: vx --(-BA)--> va0    [G10]
E16: va --(s*CA)--> iCA    [G11]
E17: iCA --(1)--> iRA    [G12]
E18: iRA --(RA)--> vRA    [G13]
E19: va0 --(1)--> va    [G14]
E20: vRA --(-1)--> va    [G14]
```

## D. ASCII SFG

以下按目标节点分组绘制，重复出现的变量名指同一个节点；所有连接均列出。V 为电压节点，A 为电流节点。

```text
vi --(gm1)--> im1 [A]  (G1)

va --(1)---+
           |
vx --(-1)--+--> vgs2 [V]  (G2)

vgs2 --(gm2)--> im2 [A]  (G3)

vo --(s*CL)--> iL [A]  (G4)

im2 --(-1)--+
            |
iL --(-1)---+--> io2 [A]  (G5)

io2 --(ro2)--> vR2 [V]  (G6)

vx --(1)---+
           |
vR2 --(1)--+--> vo [V]  (G7)

im2 --(1)---+
            |
io2 --(1)---+
            |
im1 --(-1)--+--> io1 [A]  (G8)

io1 --(ro1)--> vx [V]  (G9)

vx --(-BA)--> va0 [V]  (G10)

va --(s*CA)--> iCA [A]  (G11)

iCA --(1)--> iRA [A]  (G12)

iRA --(RA)--> vRA [V]  (G13)

va0 --(1)---+
            |
vRA --(-1)--+--> va [V]  (G14)

```

![增益增强的 Physical / Causal SFG](../assets/gainboost-sfg.svg)

图中椭圆为电压节点，圆角矩形为电流节点，双边框为独立输入。每条边显示系数和约束编号；按图中箭头读取方向。

[打开 SVG 矢量图](../assets/gainboost-sfg.svg) · [DOT 连接文本](../assets/gainboost-sfg.dot) · [机器可读边表](gainboost-edges.json)

## E. 主要正向通路与反馈环路

- 输入作用先经 vi → im1 → io1 → vx；vx 再通过 M2 的端电压与支路电流影响 vo。输出电阻支路的方向由电流 io2 → 压降 vR2 → vo 保留，不将其压缩成多器件电压增益。
- 增益增强局部负反馈：vx → va0 → va → vgs2 → im2 → io1 → vx。其中 vx → va0 的系数为 −BA，因此 vx 增大使辅助级输出降低，再使注入 vx 的 im2 减小。
- 辅助级电容返回路径为 va → iCA → iRA → vRA → va；输出负载路径为 vo → iL → io2 → vR2 → vo。前者的负号来自 KVL，后者来自 KCL；各电容仅使用一次电压到电流的本构约束。
- 本图保留已有网表中的理想受控源及其 RA、CA，不把它们合并成 −B(s)，也不使用 gm2/(go2+sCL) 一类组合边。若之后获得辅助运放内部电路，应按其独立器件约束替换 VCVS 节点。

## F. 逐边对应独立约束检查

| 边 | 起点 → 终点 | 系数 | 唯一来源约束 |
|---|---|---|---|
| E01 | $v_i\to i_{m1}$ | $g_{m1}$ | G1：M1 跨导源的本构关系 |
| E02 | $v_a\to v_{gs2}$ | $1$ | G2：M2 栅源端电压定义（KVL） |
| E03 | $v_x\to v_{gs2}$ | $-1$ | G2：M2 栅源端电压定义（KVL） |
| E04 | $v_{gs2}\to i_{m2}$ | $g_{m2}$ | G3：M2 跨导源的本构关系 |
| E05 | $v_o\to i_L$ | $s C_L$ | G4：CL 的本构关系 |
| E06 | $i_{m2}\to i_{o2}$ | $-1$ | G5：输出节点 KCL |
| E07 | $i_L\to i_{o2}$ | $-1$ | G5：输出节点 KCL |
| E08 | $i_{o2}\to v_{R2}$ | $r_{o2}$ | G6：ro2 的本构关系 |
| E09 | $v_x\to v_o$ | $1$ | G7：M2 漏源支路 KVL |
| E10 | $v_{R2}\to v_o$ | $1$ | G7：M2 漏源支路 KVL |
| E11 | $i_{m2}\to i_{o1}$ | $1$ | G8：中间节点 vx 的 KCL |
| E12 | $i_{o2}\to i_{o1}$ | $1$ | G8：中间节点 vx 的 KCL |
| E13 | $i_{m1}\to i_{o1}$ | $-1$ | G8：中间节点 vx 的 KCL |
| E14 | $i_{o1}\to v_x$ | $r_{o1}$ | G9：ro1 的本构关系 |
| E15 | $v_x\to v_{a0}$ | $-B_A$ | G10：理想 VCVS 的本构关系 |
| E16 | $v_a\to i_{CA}$ | $s C_A$ | G11：CA 的本构关系 |
| E17 | $i_{CA}\to i_{RA}$ | $1$ | G12：辅助级 RC 输出节点 KCL |
| E18 | $i_{RA}\to v_{RA}$ | $R_A$ | G13：RA 的本构关系 |
| E19 | $v_{a0}\to v_a$ | $1$ | G14：辅助级串联支路 KVL |
| E20 | $v_{RA}\to v_a$ | $-1$ | G14：辅助级串联支路 KVL |

共 15 个节点、14 个独立约束、20 条边。每个非输入节点只有一个定义方程；每条边属于唯一约束。边系数仅含单个器件的本构参数（包括理想受控源的常数增益）、电容导纳或带符号的 1。

本节输出止于 Physical / Causal SFG，不进一步化为 algebraic SFG。