高頻源極跟隨器：二階模型、峰化與真正的極零相消

對應：0241–0243。

電路與符號

drain 為 AC 地，bulk 跟 source 相連； $R_S$ 串在訊號源和 gate 間。定義

C_g=C_{GS},\quad C_d=C_{GD},\quad C_0=C_L+C_{DS},\quad g=g_o+G_B,\quad G_S=1/R_S.

$C_g$ 跨 gate–source； $C_d$ 因 drain 接地，成為 gate 對地電容。輸出是 source，不能套用共源級 Miller 增益。

完整二節點方程

[G_S+s(C_d+C_g)]v_g-sC_gv_o=G_Sv_i,

-(g_m+sC_g)v_g+[g_m+g+s(C_g+C_0)]v_o=0.

令

C_2=C_0C_d+C_0C_g+C_dC_g,

D(s)=g_m+g+s[C_g+C_0+R_Sg_mC_d+R_Sg(C_d+C_g)] +s^2R_SC_2.

則

H(s)=\frac{v_o}{v_i}=\frac{g_m+sC_g}{D(s)},\qquad Z_o(s)=\left.\frac{v_o}{i_{\rm test}}\right|_{v_i=0} =\frac{1+sR_S(C_d+C_g)}{D(s)}.

這兩個傳輸共用同一分母，但分子不同，所以零點不同。

0241：化成教材形式

令 $g=0$ ，除以 $g_m$ ：

H=\frac{1+sC_g/g_m}{1+sB+s^2R_SC_2/g_m},\quad B=R_SC_d+\frac{C_g+C_0}{g_m}.

教材另外保留 $R_SC_g/(g_mr_o)$ ，卻省去常數 $1/(g_mr_o)$ 與 $R_SC_d/(g_mr_o)$ 。這是選擇性的一階修正；若需要有限 $r_o$ 的一致模型，應使用上面的完整 $D(s)$ 。

電壓零點為 $s_{zv}=-g_m/C_g$ （左半平面）。若令分母 $a_0+a_1s+a_2s^2$ ，則

s_{p1,p2}=\frac{-a_1\pm\sqrt{a_1^2-4a_0a_2}}{2a_2}.

複數極點條件是 $a_1^2<4a_0a_2$ 。複數極點不必然造成可見的增益峰值：零點及阻尼還會影響幅度，需要實際計算 $|H(j\omega)|$ 。

0242：複數極點區域的精確邊界

以下令 $g=0$ ，並在掃描 $g_m$ 時先把電容視為固定。設

B_c=C_g+C_0,\quad r=\frac{C_0C_g}{C_d(C_0+C_g)},\quad k=1+r,\quad g_{mr}=\frac{B_c}{R_SC_d},\quad x=\frac{g_m}{g_{mr}}.

將判別式除以 $B_c^2$ ：

(x+1)^2-4kx<0.

因此真正的邊界為

x_\pm=(\sqrt{k}\pm\sqrt{k-1})^2,\qquad g_{m,\pm}=g_{mr}x_\pm,\qquad x_+x_-=1.

教材的 $g_{mr}$ 正是兩個邊界的幾何中心。但若把「寬度」定義成上下界比，

W_g=\frac{g_{m,+}}{g_{m,-}} =(\sqrt{k}+\sqrt{k-1})^4,

就不是投影片列的 $\Delta g_{mr}=C_{DGt}/C_{DG}=r$ 。原圖的 $C_{DGt}=C_0C_g/(C_0+C_g)$ 可視為一個電容比參數，但不能不加定義地當作精確區域寬度，再套 $g_{mr}/\sqrt{\Delta g_{mr}}$ 求下界。

將零點代入分母：不能只看漸近線交叉

電壓零點 $s=-g_m/C_g$ 代入：

D(-g_m/C_g)= \frac{C_0g_m}{C_g^2} [R_Sg_m(C_d+C_g)-C_g].

除去退化情況，精確相消條件是

g_{m,\rm cancel}=\frac{C_g}{R_S(C_d+C_g)} \simeq\frac1{R_S}\quad(C_d\ll C_g).

這說明 0242 的 $1/R_S$ 是近似而非一般精確相消點。

輸出阻抗零點是

s_{zo}=-\frac1{R_S(C_d+C_g)} \simeq-\frac1{R_SC_g}.

把它代入同一分母得到相同的精確相消條件。在該點：

Z_o(s)=\frac1{g_m+s[C_0+C_gC_d/(C_g+C_d)]},

H(s)=\frac{g_m}{g_m+s[C_0+C_gC_d/(C_g+C_d)]}.

0243 的 $g_{mu}\simeq(C_g+C_{DS})/[R_S(C_g+C_d)]$ 是把近似極點與零點位置對齊的估計；它只有在 $C_{DS}\ll C_g$ 等條件下接近上面的精確相消值。保留任意 $C_{DS}$ 時，代入完整分母不會得到零。

高 $g_m$ 時，一個極點趨向 $-1/(R_SC_d)$ ，因此可得到圖中的 $f_{d,\rm high\,gm}\simeq1/(2\pi R_SC_d)$ 。輸出阻抗先升後降的區段可呈感性。

最小 SFG

v_g=a v_i+bv_o,\qquad v_o=c v_g,

a=\frac{G_S}{G_S+s(C_d+C_g)},\quad b=\frac{sC_g}{G_S+s(C_d+C_g)},\quad c=\frac{g_m+sC_g}{g_m+g+s(C_g+C_0)}.

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$g_m$ 與 $sC_g$ 保留為平行正向支路， $C_g$ 返回 gate 的支路也保留。 $H=ac/(1-bc)$ 與完整矩陣完全相同。額外的 source 電流變數已消去，因為它不增加峰化機制的解釋。

近似與驗算

原式 → 簡式	條件	失效情況
$g\to0$	不只 $g\ll g_m$ ，還須 $R_Sg(C_d+C_g)$ 對 $a_1$ 足夠小	大 $R_S$
$C_d+C_g\to C_g$	$C_d\ll C_g$	補償電容加大後
$g_{m,\rm cancel}\to1/R_S$	同上	0242 的補償正會改變此比值
極點漸近交點 → 精確相消	必須另外驗 $D(s_z)=0$	複數極點或電容比不小
固定電容掃 $g_m$	局部模型比較	真實偏壓變動也改變電容

峰化與精確相消比較

圖中標出完整模型相消值與教材估計值。符號程式驗證兩個零點代入結果及相消後的一階式。

例圖固定 $R_S=10$ kΩ、 $C_g=1$ pF、 $C_d=0.2$ pF、 $C_{DS}=3$ pF、 $C_L=0$ 、 $g=0$ 。完整相消值為 $83.33$ µS，0243 估式為 $333.33$ µS，複數極點區域的幾何中心為 $2$ mS。這是固定電容的模型比較，不是掃描真實器件偏壓。

來源對照

投影片	PDF 頁	書本頁	講解所在 PDF 頁
0241	70	71	70
0242	71	72	70, 71
0243	71	72	71

Spectre 仿真結果

本推導組的代表模型已完成 Spectre 驗證；覆蓋範圍以所列 netlist 為準，未逐一搭建所有投影片電路。

線性 AC 6 · MOS 電路 1 · 極零 2 · 暫態 0：所列檢查全部通過。

案例：follower_cancel、follower_cancel_z、follower_book、follower_book_z、follower_center、follower_center_z、mos_follower、follower_cancel、follower_center

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