CMOS 反相器的增益、兩極點與 Miller 限制

對應：0228–0233。

用總跨導避免倍數混淆

G_m=g_{mn}+g_{mp},\quad G_o=g_{on}+g_{op},\quad R_o=1/G_o.

輸入上升，NMOS 吸入增大、PMOS 供出減小，兩項都使輸出下降：

(G_o+sC_L)v_o=-G_mv_i,\quad a_v=-\frac{G_mR_o}{1+sR_oC_L}.

A_0=G_mR_o,\quad BW=\frac1{2\pi R_oC_L},\quad GBW=\frac{G_m}{2\pi C_L}.

匹配且兩管同 $I_D,V_{OV},V_A$ ：

G_m=2g_m,\quad G_o=2g_o,\quad R_o=r_o/2,\quad a_v(0)=-g_mr_o\simeq-\frac{2V_A}{V_{DD}/2-V_T}.

這解釋 current reuse：同一 DC 電流產生兩個 AC 跨導。0229 正文將 $r_o/2$ 說成 $2/g_o$ 是倒數錯誤；應為 $1/(2g_o)$ 。

令 $C_i=C_{GSn}+C_{GSp}$ ，gate 前有 $R_S$ ：

a_v=\frac{-G_mR_o}{(1+sR_SC_i)(1+sR_oC_L)}.

兩極點為 $1/(R_SC_i)$ 、 $1/(R_oC_L)$ 。若 $R_SC_i\gg R_oC_L$ ，輸入極點主導。若還要把主極點 GBW 當交越頻率，另一極點須高於交越，光是高於主極點仍不足。

GBW_i\simeq\frac{G_mR_o}{2\pi R_SC_i}.

匹配時 $C_i=2C_{GS}$ ，單管 $f_T=g_m/(2\pi C_{GS})$ ：

GBW_i=\frac{f_Tr_o}{2R_S}.

教材差異： 0231 寫 $f_Tr_{DS}/R_S$ ，主導條件寫 $R_SC_{GSt}>r_{DS}C_L$ 。按同章 $r_{DS}$ 是單管阻抗的定義，這兩處都少了係數 $1/2$ 。若改定義成總 $R_o$ ，必須明示。

完整矩陣：

\begin{bmatrix} G_S+s(C_i+C_F)&-sC_F\\ G_m-sC_F&G_o+s(C_L+C_F) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}v_g\\v_o\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}G_Sv_i\\0\end{bmatrix}.

展開：

a_v(s)=\frac{-A_0(1-sC_F/G_m)}{1+a_1s+a_2s^2},

a_1=R_o(C_L+C_F)+R_S(C_i+C_F)+A_0R_SC_F,

a_2=R_SR_o(C_iC_L+C_iC_F+C_FC_L).

s_{p1,p2}=\frac{-a_1\pm\sqrt{a_1^2-4a_2}}{2a_2},\qquad s_z=\frac{G_m}{C_F}.

匹配時零點為 $2g_m/C_F$ 。0232 若写 $1-sC_F/g_m$ ，其中 $g_m$ 必須是總跨導，否則零點差一倍。

先令 $C_i=0$ ，再忽略 $C_F(R_o+R_S)$ ：

a_v\simeq\frac{-A_0(1-sC_F/G_m)} {1+s(R_oC_L+A_0R_SC_F)+s^2R_SR_oC_FC_L}.