Regulated cascode 與 gain boosting 的動態模型

對應：0262–0264。

連線與負號

M1 source 接地，M2 source 接中間節點 $x$。輔助放大器的正端接 AC 地參考，負端接 $x$，輸出驅動 M2 gate：

因此 $x$ 上升會使 M2 gate 下降，是此局部迴路的負回授。先忽略 body effect 與中間節點電容，保留 M1、M2 的 $g_o$ 和輸出 $C_L$。

定義 $Q=g_{m2}+g_{o2}$、$D_x=g_{o1}+Q$，KCL：

代入 $v_a=-Bv_x$，得到

此式在 $B$ 是任意已指定的傳輸函數時成立，但仍不包含輔助放大器輸出阻抗及額外寄生。

DC 增益增加的每一步

輸入置零的 drain 測試給

DC 電壓增益：

依序省去兩個 1，才得到教材：

0262 若用一個 M3 共源級作輔助放大器，理想偏壓源負載下 $B_0\simeq g_{m3}r_{o3}$，便出現三個 intrinsic gain 的乘積。

中間節點阻抗的敘述須指定輸出終端。輸出被固定在 AC 地時， $Z_x=1/[D_x+g_{m2}B_0]$，確實降低。若輸出在 DC 完全開路且只有理想電流源，輸入 $x$ 的電流最終仍經 $r_{o1}$ 流走，$Z_x=r_{o1}$。不能省略終端條件而把「中點阻抗降低」當成所有情況的定律。

保留輔助放大器的一個極點

取

乘掉公共分母後：

分母係數：

輔助放大器引入的零點為

它在左半平面，不能與 Miller RHP 零點混淆。两個極點由 $d_0+d_1s+d_2s^2=0$ 求。

0264 的頻寬對齊不是通用等式

將此零點代入完整分母，精確相消要求

右側是 $1/(r_{o2}C_L)$，不是未增益提升 cascode 的主極點 $g_{o1}g_{o2}/(D_xC_L)$。

所以原文「輔助 GBW 必須恰好等於原 cascode BW」不能由本頁的單極點 $B(s)$ 模型普遍推出。它屬特定設計圖的簡化說明，完整設計仍須指定所有內部極點、檢查迴路穩定性和 step response。本輪不把這句話標成已證明的設計準則。

最小可解釋 SFG

保留 $v_i,v_x,v_a,v_o$ 四個節點；$v_a$ 不能消掉，否則看不到輔助放大器的負回授與自身極點：

查看 SFG 的 DOT 連線文字

三條關係的聯立解與 KCL 結果一致，並保留 M2 受 $x$ 與 gate 控制的兩條路徑。沒有額外器件電流節點。

必要近似

• $B_0\gg1$ 才可把 $1+B_0$ 換成 $B_0$。
• $g_{m2}r_{o2}(1+B_0)\gg1$ 才可省去 DC 增益最外層的 1。
• 用單管 M3 的 $g_mr_o$ 代表 $B_0$，須忽略其負載並保留有效 bias。
• 「GBW 不變」要求主電路交越附近仍由輸入有效跨導與 $C_L$ 支配，輔助迴路沒有新共振或額外高頻限制。
• 一個極點的 $B(s)$ 是指定模型，不是所有輔助運放的精確描述。

符號檢查驗證 DC 阻抗、SFG、二階式及極零相消条件。

來源對照