调节型共源共栅级与增益增强的动态模型

对应：0262–0264。

A. 选取的 SFG 节点及选择理由

本图对应本项目已运行的 gainboost_slow / gainboost_fast Spectre 等效电路：M1 源极接地，M2 源极为 vx、栅极为 va、漏极为 vo，输出接 CL。忽略体效应、中间节点电容和其余寄生，保留有限 ro1、ro2。辅助级由理想反相 VCVS、串联 RA 和输出对地 CA 构成；VA0 是受控源输出，va 是 RC 节点。BA 是这个独立受控源的常数增益参数，不是整体传递函数，不以未知内部 MOS 拓扑代替该受控源。im1、io1 从 vx 流向地；im2、io2 从 vo 流向 vx；iL 从 vo 流向地；iRA 从 va0 经 RA 流向 va，iCA 从 va 流向地。

所有量为工作点附近的小信号，电容采用零初始条件的拉普拉斯关系。按局部器件关系选择因果方向，不预先求整体传递函数，也不消元为最少节点图。

节点	类型	选择理由
$v_i$ （`vi`）	电压 / V	独立输入电压。
$i_{m1}$ （`im1`）	电流 / A	输入管 M1 的跨导电流。
$i_{o1}$ （`io1`）	电流 / A	M1 输出电阻 ro1 的电流。
$v_x$ （`vx`）	电压 / V	真实中间节点，辅助级的采样电压。
$v_{a0}$ （`va0`）	电压 / V	已有网表中理想 VCVS 的输出，保留受控源自身的电压因果方向。
$i_{CA}$ （`iCA`）	电流 / A	辅助级电容电流。
$i_{RA}$ （`iRA`）	电流 / A	辅助级串联电阻电流，由输出节点 KCL 决定。
$v_a$ （`va`）	电压 / V	辅助级 RC 节点，驱动 M2 栅极。
$v_{gs2}$ （`vgs2`）	电压 / V	M2 栅源端电压。
$i_{m2}$ （`im2`）	电流 / A	M2 从输出注入中间节点的跨导电流。
$i_L$ （`iL`）	电流 / A	输出负载电容电流。
$i_{o2}$ （`io2`）	电流 / A	ro2 支路电流，由输出 KCL 决定。
$v_{R2}$ （`vR2`）	电压 / V	ro2 从漏极到源极的压降。
$v_o$ （`vo`）	电压 / V	真实输出节点电压。
$v_{RA}$ （`vRA`）	电压 / V	辅助级串联 RA 的压降，显式保留 i → v。

B. 独立约束

每行是一个独立局部约束，整理为 $y=\sum_k a_kx_k$ 。右侧的每一项生成一条边；一行分成多条边不等于重复使用约束。

约束	物理来源	定向方程
G1	M1 跨导源的本构关系	$i_{m1} = g_{m1} v_i$
G2	M2 栅源端电压定义（KVL）	$v_{gs2} = v_a - v_x$
G3	M2 跨导源的本构关系	$i_{m2} = g_{m2} v_{gs2}$
G4	CL 的本构关系	$i_L = s C_L v_o$
G5	输出节点 KCL	$i_{o2} = - i_{m2} - i_L$
G6	ro2 的本构关系	$v_{R2} = r_{o2} i_{o2}$
G7	M2 漏源支路 KVL	$v_o = v_x + v_{R2}$
G8	中间节点 vx 的 KCL	$i_{o1} = i_{m2} + i_{o2} - i_{m1}$
G9	ro1 的本构关系	$v_x = r_{o1} i_{o1}$
G10	理想 VCVS 的本构关系	$v_{a0} = - B_A v_x$
G11	CA 的本构关系	$i_{CA} = s C_A v_a$
G12	辅助级 RC 输出节点 KCL	$i_{RA} = i_{CA}$
G13	RA 的本构关系	$v_{RA} = R_A i_{RA}$
G14	辅助级串联支路 KVL	$v_a = v_{a0} - v_{RA}$

电阻只使用 $v=Ri$ 这一方向，不再同时添加 $i=v/R$ ；同一电容的支路电流可以出现在两端节点的 KCL 中，但其本构关系只建一次。本图保留有限输出电阻以采用“电流 → 电压”的电阻方向。若另取输出电导严格为零的理想模型，应重新分配约束方向，不能直接在图上使用无穷大的电阻。

C. SFG edge list

E01: vi --(gm1)--> im1    [G1]
E02: va --(1)--> vgs2    [G2]
E03: vx --(-1)--> vgs2    [G2]
E04: vgs2 --(gm2)--> im2    [G3]
E05: vo --(s*CL)--> iL    [G4]
E06: im2 --(-1)--> io2    [G5]
E07: iL --(-1)--> io2    [G5]
E08: io2 --(ro2)--> vR2    [G6]
E09: vx --(1)--> vo    [G7]
E10: vR2 --(1)--> vo    [G7]
E11: im2 --(1)--> io1    [G8]
E12: io2 --(1)--> io1    [G8]
E13: im1 --(-1)--> io1    [G8]
E14: io1 --(ro1)--> vx    [G9]
E15: vx --(-BA)--> va0    [G10]
E16: va --(s*CA)--> iCA    [G11]
E17: iCA --(1)--> iRA    [G12]
E18: iRA --(RA)--> vRA    [G13]
E19: va0 --(1)--> va    [G14]
E20: vRA --(-1)--> va    [G14]

D. ASCII SFG

以下按目标节点分组绘制，重复出现的变量名指同一个节点；所有连接均列出。V 为电压节点，A 为电流节点。

vi --(gm1)--> im1 [A]  (G1)

va --(1)---+
           |
vx --(-1)--+--> vgs2 [V]  (G2)

vgs2 --(gm2)--> im2 [A]  (G3)

vo --(s*CL)--> iL [A]  (G4)

im2 --(-1)--+
            |
iL --(-1)---+--> io2 [A]  (G5)

io2 --(ro2)--> vR2 [V]  (G6)

vx --(1)---+
           |
vR2 --(1)--+--> vo [V]  (G7)

im2 --(1)---+
            |
io2 --(1)---+
            |
im1 --(-1)--+--> io1 [A]  (G8)

io1 --(ro1)--> vx [V]  (G9)

vx --(-BA)--> va0 [V]  (G10)

va --(s*CA)--> iCA [A]  (G11)

iCA --(1)--> iRA [A]  (G12)

iRA --(RA)--> vRA [V]  (G13)

va0 --(1)---+
            |
vRA --(-1)--+--> va [V]  (G14)

增益增强的 Physical / Causal SFG

图中椭圆为电压节点，圆角矩形为电流节点，双边框为独立输入。每条边显示系数和约束编号；按图中箭头读取方向。

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E. 主要正向通路与反馈环路

输入作用先经 vi → im1 → io1 → vx；vx 再通过 M2 的端电压与支路电流影响 vo。输出电阻支路的方向由电流 io2 → 压降 vR2 → vo 保留，不将其压缩成多器件电压增益。
增益增强局部负反馈：vx → va0 → va → vgs2 → im2 → io1 → vx。其中 vx → va0 的系数为 −BA，因此 vx 增大使辅助级输出降低，再使注入 vx 的 im2 减小。
辅助级电容返回路径为 va → iCA → iRA → vRA → va；输出负载路径为 vo → iL → io2 → vR2 → vo。前者的负号来自 KVL，后者来自 KCL；各电容仅使用一次电压到电流的本构约束。
本图保留已有网表中的理想受控源及其 RA、CA，不把它们合并成 −B(s)，也不使用 gm2/(go2+sCL) 一类组合边。若之后获得辅助运放内部电路，应按其独立器件约束替换 VCVS 节点。

F. 逐边对应独立约束检查

边	起点 → 终点	系数	唯一来源约束
E01	$v_i\to i_{m1}$	$g_{m1}$	G1：M1 跨导源的本构关系
E02	$v_a\to v_{gs2}$	$1$	G2：M2 栅源端电压定义（KVL）
E03	$v_x\to v_{gs2}$	$-1$	G2：M2 栅源端电压定义（KVL）
E04	$v_{gs2}\to i_{m2}$	$g_{m2}$	G3：M2 跨导源的本构关系
E05	$v_o\to i_L$	$s C_L$	G4：CL 的本构关系
E06	$i_{m2}\to i_{o2}$	$-1$	G5：输出节点 KCL
E07	$i_L\to i_{o2}$	$-1$	G5：输出节点 KCL
E08	$i_{o2}\to v_{R2}$	$r_{o2}$	G6：ro2 的本构关系
E09	$v_x\to v_o$	$1$	G7：M2 漏源支路 KVL
E10	$v_{R2}\to v_o$	$1$	G7：M2 漏源支路 KVL
E11	$i_{m2}\to i_{o1}$	$1$	G8：中间节点 vx 的 KCL
E12	$i_{o2}\to i_{o1}$	$1$	G8：中间节点 vx 的 KCL
E13	$i_{m1}\to i_{o1}$	$-1$	G8：中间节点 vx 的 KCL
E14	$i_{o1}\to v_x$	$r_{o1}$	G9：ro1 的本构关系
E15	$v_x\to v_{a0}$	$-B_A$	G10：理想 VCVS 的本构关系
E16	$v_a\to i_{CA}$	$s C_A$	G11：CA 的本构关系
E17	$i_{CA}\to i_{RA}$	$1$	G12：辅助级 RC 输出节点 KCL
E18	$i_{RA}\to v_{RA}$	$R_A$	G13：RA 的本构关系
E19	$v_{a0}\to v_a$	$1$	G14：辅助级串联支路 KVL
E20	$v_{RA}\to v_a$	$-1$	G14：辅助级串联支路 KVL

共 15 个节点、14 个独立约束、20 条边。每个非输入节点只有一个定义方程；每条边属于唯一约束。边系数仅含单个器件的本构参数（包括理想受控源的常数增益）、电容导纳或带符号的 1。

本节输出止于 Physical / Causal SFG，不进一步化为 algebraic SFG。

原有公式推导与必要近似（展开查看）

连接与负号

M1 源极接地，M2 源极接中间节点 $x$ 。辅助放大器的正端接 AC 地参考，负端接 $x$ ，输出驱动 M2 栅极：

v_a=-B(s)v_x.

因此 $x$ 上升会使 M2 栅极下降，是此局部环路的负反馈。先忽略体效应与中间节点电容，保留 M1、M2 的 $g_o$ 和输出 $C_L$ 。

定义 $Q=g_{m2}+g_{o2}$ 、 $D_x=g_{o1}+Q$ ，KCL：

D_xv_x-g_{o2}v_o-g_{m2}v_a=-g_{m1}v_i,

(g_{o2}+sC_L)v_o-Qv_x+g_{m2}v_a=0.

代入 $v_a=-Bv_x$ ，得到

a_v(s)= \frac{-g_{m1}[g_{o2}+g_{m2}(1+B)]} {g_{o1}g_{o2}+sC_L[g_{o1}+g_{o2}+g_{m2}(1+B)]}.

此式在 $B$ 是任意已指定的传输函数时成立，但仍不包含辅助放大器输出阻抗及额外寄生。

DC 增益增加的每一步

输入置零的漏极测试给

R_{\rm out}=r_{o1}+r_{o2}+g_{m2}r_{o1}r_{o2}(1+B_0).

DC 电压增益：

a_v(0)=-g_{m1}r_{o1}[1+g_{m2}r_{o2}(1+B_0)].

依序省去两个 1，才得到教材：

A_0\simeq B_0(g_{m1}r_{o1})(g_{m2}r_{o2}).

0262 若用一个 M3 共源级作辅助放大器，理想偏置源负载下 $B_0\simeq g_{m3}r_{o3}$ ，便出现三个本征增益的乘积。

中间节点阻抗的叙述须指定输出终端。输出被固定在 AC 地时， $Z_x=1/[D_x+g_{m2}B_0]$ ，确实降低。若输出在 DC 完全开路且只有理想电流源，输入 $x$ 的电流最终仍经 $r_{o1}$ 流走， $Z_x=r_{o1}$ 。不能省略终端条件而把「中点阻抗降低」当成所有情况的定律。

保留辅助放大器的一个极点

取

B(s)=\frac{B_0}{1+s/\omega_b}.

乘掉公共分母后：

a_v= \frac{-g_{m1}[Q(1+s/\omega_b)+g_{m2}B_0]} {g_{o1}g_{o2}(1+s/\omega_b) +sC_L[D_x(1+s/\omega_b)+g_{m2}B_0]}.

分母系数：

d_0=g_{o1}g_{o2},\quad d_1=\frac{g_{o1}g_{o2}}{\omega_b}+C_L(D_x+g_{m2}B_0),\quad d_2=\frac{C_LD_x}{\omega_b}.

辅助放大器引入的零点为

s_z=-\omega_b\left(1+\frac{g_{m2}B_0}{Q}\right) \simeq-(1+B_0)\omega_b.

它在左半平面，不能与米勒右半平面零点混淆。两个极点由 $d_0+d_1s+d_2s^2=0$ 求。

0264 的带宽对齐不是通用等式

将此零点代入完整分母，精确相消要求

\omega_b\left(1+\frac{g_{m2}B_0}{Q}\right)=\frac{g_{o2}}{C_L}.

右侧是 $1/(r_{o2}C_L)$ ，不是未增益提升共源共栅级的主极点 $g_{o1}g_{o2}/(D_xC_L)$ 。

所以原文「辅助 GBW 必须恰好等于原共源共栅级 BW」不能由本页的单极点 $B(s)$ 模型普遍推出。它属特定设计图的简化说明，完整设计仍须指定所有内部极点、检查环路稳定性和阶跃响应。本轮不把这句话标成已证明的设计准则。

必要近似

$B_0\gg1$ 才可把 $1+B_0$ 换成 $B_0$ 。
$g_{m2}r_{o2}(1+B_0)\gg1$ 才可省去 DC 增益最外层的 1。
用单管 M3 的 $g_mr_o$ 代表 $B_0$ ，须忽略其负载并保留有效偏置。
「GBW 不变」要求主电路交越附近仍由输入有效跨导与 $C_L$ 支配，辅助环路没有新共振或额外高频限制。
一个极点的 $B(s)$ 是指定模型，不是所有辅助运放的精确描述。

符号检查验证 DC 阻抗、SFG、二阶式及极零相消条件。

来源对照

幻灯片	PDF 页	书本页	讲解所在 PDF 页
0262	81	82	81
0263	82	83	82
0264	82	83	82

Spectre 仿真结果

本推导组的代表模型已完成 Spectre 验证；覆盖范围以所列网表为准，未逐一搭建所有幻灯片电路。

线性 AC 2 · MOS 电路 0 · 极零 1 · 瞬态 0：所列检查全部通过。

案例：gainboost_slow、gainboost_fast、gainboost_slow

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