主動電感、頻率範圍與差動兩倍因子

對應：0245–0247。

0245：從輸出測試電流解阻抗

量測 source 輸出阻抗時，gate 經 $R_S$ 接 AC 地。只保留 $C_{GS}=C$ 、 $g_m$ ，暫時移除外接 $C_L$ ：

(G_S+sC)v_g-sCv_o=0,\qquad i_t=(g_m+sC)(v_o-v_g).

先解 $v_g=sR_SCv_o/(1+sR_SC)$ ，代入：

Z_o=\frac{1+sR_SC}{g_m+sC}.

低頻與高頻極限為

Z_o(0)=1/g_m,\qquad Z_o(\infty)=R_S.

以 $\omega_T=g_m/C$ ，精確重寫：

Z_o=\frac1{g_m}+ \frac{sL_{\rm eff}}{1+s/\omega_T},\qquad L_{\rm eff}=\frac{R_S-1/g_m}{\omega_T}.

在 $\omega\ll\omega_T$ 且 $g_mR_S\gg1$ 時，

Z_o\simeq\frac1{g_m}+sL,\qquad L\simeq R_S/\omega_T=R_S/(2\pi f_T).

感性項顯著的頻帶約為

\frac{\omega_T}{g_mR_S}\ll\omega\ll\omega_T.

因此教材「up to $f_T$ 」應理解為尺度上限，並非在 $f_T$ 處仍能無誤差使用純電感近似。 $R_S$ 是高頻平台，不是低頻串聯電阻；低頻串聯電阻是 $1/g_m$ 。

若原圖保留外接 $C_L$ ，總阻抗還要取

Z_{\rm loaded}=[Z_o^{-1}+sC_L]^{-1}.

不能一面保留 $C_L$ ，一面宣稱上面的無負載 $Z_o$ 是總阻抗。

二極體接法 PMOS 若為 AC 地參考且 $g_{mp}\gg g_{op}$ ，其電阻約為 $1/g_{mp}$ ：

L\simeq\frac1{g_{mp}\omega_{Tn}}.

採右側低壓配置時，source follower 的近單位跟隨使 PMOS 的 gate/drain 小訊號近似短接，才可沿用相同電阻。這要求中間跟隨增益接近 1、內部極點高於使用頻帶；不能在任意頻率把複合回授支路當成理想電阻。

依圖上的 DC 節點電壓：

以上 PMOS 電壓使用正值 $V_{SGp}$ ，避免原圖 $V_{GSp}$ 的符號混用。

左右匹配，tail 電流源對差模形成虛地；每邊的上管阻抗近似

Z_h\simeq r_h+sL_h,\quad r_h=1/g_{m2},\quad L_h=R_{\rm tune}/\omega_{T2}.

兩個 output 之間量到的阻抗是 $2Z_h$ 。所以若圖右畫的是跨兩端的實體等效電感，其值為

L_{\rm diff}=2L_h=\frac{2R_{\rm tune}}{\omega_{T2}}.

教材標 $L=R_{\rm tune}/\omega_{T2}$ 可當半電路電感，但不能同時把它當完整兩端差動電感，否則差一倍。

跨輸出的電容 $C$ 在半電路等效為 $2C$ ，因而

a_{vd}(s)\simeq\frac{g_{m1}(r_h+sL_h)} {1+2sCr_h+2s^2CL_h}.

低頻 $|a_{vd}(0)|=g_{m1}/g_{m2}$ ，重現教材；無阻尼共振尺度則為 $\omega_0=1/\sqrt{2L_hC}$ 。峰化由二階分母及一個零點共同決定。